24.2.2-直线和圆的位置关系

24.2.2

直线和圆的位置关系新人教版九年级数学上册24圆理解直线和圆的三种位置关系—相交、相离、相切,以及位置关系的判定方法和性质；掌握切线的性质和判定定理；了解三角形的内切圆及内心。学习目标

在太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？观察lll

观察平面图，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？．Ol．O叫做直线和圆相离．

直线和圆没有公共点，l

直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切．唯一的公共点叫切点．．Ol

直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交

．这时的直线叫做圆的割线

．直线和圆的位置关系．A．B切点割线——用公共点的个数来区分切线这时的直线叫切线，A

直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交.思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多于两个呢？相离相交相切切点切线割线交点交点直线与圆相离、相切、相交的定义.快速判断下列各图中直线与圆的位置关系.Ol.O1.Ol.O2ll.相离相离相交相切相交

除了用公共点的个数来区分直线与圆的位置关系外，能否像点和圆的位置关系一样用数量关系的方法来判断直线和圆的位置关系？ddd.O.O.Orrr相离相切相交1、直线与圆相离

=>d>r2、直线与圆相切

=>d=r3、直线与圆相交

=>d<r<<<看一看想一想当直线与圆相离、相切、相交时，d与r有何关系？lll.A.B.C.D.E.F.NH.Q.d表示圆心O到直线l的距离，r表示⊙O的半径2．直线和圆的位置关系——数量特征rd

直线l和⊙O相交Odr

直线l和⊙O相离dr直线l和⊙O相切OOllld<rd=rd>rd：弦心距r

：半径

判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由_________________的个数来判断；（2）根据性质，由___________________________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r总结：直线与圆的位置关系的判定方法：无切线割线直线名称无切点交点公共点名称d>rd=rd<r圆心到直线距离

d与半径r关系012公共点个数相离相切相交直线和圆的位置关系

圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm

；（2）6.5cm

；（3）8cm，那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？（3）圆心距d=8cm＞r=6.5cm

直线与圆相离，有两个公共点；有一个公共点；没有公共点．AB·6.5cmd=4.5cmOM（2）圆心距d=6.5cm=r=6.5cm

直线与圆相切，·NO6.5cmd=6.5cm解（1）圆心距d=4.5cm＜r=6.5cm

直线与圆相交，D·O6.5cmd=8cm练习（一）填空：1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____。直线a与⊙O的公共点个数是____。2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是____。动动脑筋相交相切两个3、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____。4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是____。零相离思考：圆心A到X轴、Y轴的距离各是多少?例题1：.AOXY已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。BC43相离相切

例

Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？

为什么？

（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．分析：根据直线和圆的位置关系

的数量特征，应该用圆心到直

线的距离d

与半径r

的大小进

行比较；关键是确定圆心C

到直线

AB的距离d，这个距离是多少

呢？怎么求这个距离？CBAdd=2.4cmD4．练习即圆心C

到AB

的距离d=2.4cm．（1）当r=2cm时，∵d＞r，∴⊙C

与AB

相离．（2）当r=2.4cm时，∵d=r，∴⊙C

与AB

相切．（3）当r=3cm时，∵d＜r，∴⊙C

与AB

相交．解：过C

作CD⊥AB，垂足为D．根据三角形面积公式有

CD·AB=AC·BC在

Rt△ABC

中，AB=（cm）∴

CD=

（cm）．4．练习

如图：已知∠AOB=30°，M为OB上一点，且OM=5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm;(2)r=4cm;(3)r=2.5cm.解：过点M作MN⊥OA于点N∵在Rt△OMN中，∠AOB=30°,OM=5cm.∴MN=2.5CM即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm（1）当r=2cm时，∵d>r，∴⊙M与直线OA相离。（2）当r=4cm时，∵d<r，∴⊙M与直线OA相交。（3）当r=2.5cm时，∵d=r，∴⊙M与直线OA相切。大家动手,做一做2.5cm．drOl直线l和⊙O相切切线切点怎样判定切线？切线有什么特征？3．切线知识要点切线的判定定理

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．．注意圆的切线有无数条．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

归纳总结Orl

A如图所示∵OA是半径，l⊥OA于A∴l是⊙O的切线。定理的几何符号表达：归纳总结判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA两个条件,缺一不可基础训练

例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.证明：连结OC(如图).∵△OAB中，

OA＝OB

,CA＝CB,∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线.辅助线：（有切点）连半径，证垂直.应用举例辅助线：（无切点）作垂直，证半径.

例2

已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD

（即圆心O到AC的距离d=r）∴AC是⊙O切线。应用举例例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED归纳总结2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径.归纳总结证明直线与圆相切有如下三种途径:3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。.OAl如果l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径问题探究证明：假设OA与CD不垂直，过点O作一条半径垂直于CD，垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”矛盾，所以OA与CD垂直．即圆的切线垂直于过切点的半径．．CODMA定理证明１、切线和圆只有一个公共点；２、切线和圆心的距离等于半径；３、切线垂直于过切点的半径；４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。切线的性质：归纳总结切线的性质３、４、５可归纳为：已知直线满足a、过圆心，b、过切点，c、垂直于切线中任意两个，便得到第三个结论.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.【解析】△AED为直角三角形，理由如下连接OE.∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∠OED=90°，即∠OEA+∠AED=90°.又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠EAD.∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.∴∠AED+∠EAD=90°，∴∠ADE=90°，∴△AED为直角三角形..ABDCO1.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.跟踪训练证明:

连接OC、BC.由AB为直径可得∠ACB=90°.∠A=30°，可得BC=AB=OB，∠ABC=60°，又BD=OB∴BC=BD，∠BCD=30°∴∠OCB+∠BCD=90°，∴OC⊥CD,∴DC是⊙O的切线.FE2.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以点D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明AC是⊙D的切线.证明:

作DE⊥AC，垂足为E.在Rt△ABC和Rt△AED中，∠B=∠AED=90°∠BAD=∠DAEAD=AD∴△ABD≌△AED.∴DE=BD∴AC是⊙D的切线.BA1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？2、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数.50°130°

OABP思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A、B除了在⊙O上，还在怎样的圆上?如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？.尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线O·PABO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线切线长切线是直线，不能度量切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．．OPAB切线与切线长的比较

PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是⊙O的一条半径吗？

PB是⊙O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）

PA、PB有何关系？

∠APO和∠

BPO有何关系？PAOB观察OPAB∟∟M⌒⌒12证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2作辅助线求证：PA=PB，∠APO=∠

BPO．定理证明知识要点

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．切线长定理∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB,OP平分∠APB.几何语言:OPABBOPAHDC切线长定理的推论PO垂直平分AB探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.BAPOCE（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PBAB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCD△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB（3）写出图中所有的全等三角形BAPOCED已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P作⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．OFPE⌒12⌒基础训练EF长多少？

一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ABC5．内切圆

李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。ABC问题探究1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.性质:

内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角.OABC基础概念DFE三角形的内切圆∵O在∠B的角平分线上，∴OD＝OE，又∵O在∠C的平分线上，∴OD＝OF，∴OD＝OE＝OF．∴D、E、F在同一个圆上O即为内切圆的圆心．求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的圆心．ABCODEF(角平分线的性质定理)证明：定理证明怎样作三角形内切圆？ABC1.作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为O。O2．过点O作OD⊥BC，垂足为D。3．以O为圆心，OD为半径作⊙O.⊙O就是所求的圆。DMN基本方法

△ABC中，∠ABC=50°∠ACB=75°，点O是⊙O的内心，求∠BOC的度数．AOCB解：∵点O是⊙O的内心∴∠OBC=1/2∠ABC=25°∠OCB=1/2∠ACB=37.5°∴∠BOC=180°－25°－37.5°=117.5°（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3C．D． 【解析】选D.如图所示，连接OA、OB，则三角形AOB是直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切圆半径为1，利用勾股定理求得AB=那么这个正三角形的边长为.BA解：连接OA、OB