2012届高考数学(文)一轮复习课件：8-4第四节-直线与圆、圆与圆的位置关系(北师大版)

考纲点击考情关注1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.高考中主要考查方程中有参数的直线与圆的位置关系的判断，利用相切、相交的条件求参数的范围，利用相切、相交求切线长或弦长．难度不是太大，多以选择、填空题为主，有时也出现解答题，难度中等.1.直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有三种：

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：①代数法：利用判别式Δ相离、相切、相交．②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系

⇔相交

⇔相切

⇔相离(2)圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为

.注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．d<rd＝rd>rx0x＋y0y＝r22．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可分为五种：

判断圆与圆的位置关系常用几何法：设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)，则|O1O2|>r1＋r2⇔

；|O1O2|＝r1＋r2⇔

；|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2⇔

；|O1O2|＝|r1－r2|⇔

；0<|O1O2|<|r1－r2|⇔

相离、外切、相交、内切、内含．相离外切相交内切内含．3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(

)A．1条

B．2条C．3条

D．4条4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．题型一圆的切线问题■

例1已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．[思路分析]

(2)由|PO|＝|PM|，得x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.①过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在．②利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意各种直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．[互动训练1]已知圆的方程(x－1)2＋y2＝9，求过点(－2，4)的圆的切线方程．解：∵圆方程(x－1)2＋y2＝32，∴圆心C(1,0)，半径r＝3.①当过点(－2,4)的圆的切线斜率存在时，设过点(－2,4)的圆的切线为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋4＝0，题型二有关圆的弦长、中点弦问题■

[听课记录]

(1)解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.①当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式得①有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.答案：B题型三圆与圆的位置关系■

例3

(2010·徐州模拟)已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．[思路分析]

本题求解的关键是由“圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长”得到|C1C2|2＋r22＝r12.1.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．3．两圆公切线的条数(1)两圆内含时，公切线条数为0；(2)两圆内切时，公切线条数为1；(3)两圆相交时，公切线条数为2；(4)两圆外切时，公切线条数为3；(5)两圆相离时，公切线条数为4.因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系．[互动训练3]圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线的方程；(2)若圆O2与圆O1相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．题型四直线与圆的综合问题■

例4已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．[思路分析]

欲使圆上两点A、B关于直线y＝kx－1对称，也就是直线y＝kx－1是弦AB的垂直平分线，则需圆心C在直线y＝kx－1上，即可求得k的值．以AB为直径的圆经过原点，也就是OA⊥OB，转化为kOA·kOB＝－1求解．[听课记录]

圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.于是可知，kAB＝1.设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均满足△>0.即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.[总结评价]

解答本题易出现先求出以AB为直径的圆的方程，再求b的情况，此种解法较复杂，复习时要注意条件的深化．

当直线与圆的问题不能用数形结合求解时，一般要视为直线与二次曲线的常规问题求解．解：(1)圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为C(1,1)，半径r＝1.当b＝1时，点M(0,1)在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，MP⊥MQ，即k＝1.(2)(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案]

(1)A

(2