23.3.1 相似三角形-2021-2022学年九年级数学上册同步备课系列（华东师大版）【课件】

华东师大版第23章图形的相似23.3.1相似三角形1、两个边数相同的多边形,如果各边对应_________,各角对应_______,那么这两个多边形相似。2、相似多边形的______________成比例，________相等。成比例相等对应边对应角知识回顾知识点1相似三角形的概念在相似多边形中，最简单的是相似三角形。1、相似三角形：对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。CAB如图，两个三角形相似，记作：∽读作：相似于定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,我们称为相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”。∠A=∠A１、∠B=∠B１、∠C=∠C１用数学语言表示：（符号）如△A１B１C１与△ABC相似,△ABC∽△A１B１C１｝注意：对应顶点写在对应位置上记作“△A１B１C１∽△ABC”2、相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用字母k表示。CAB如图，∽则相似比k=注意相似比是有顺序的。如果的相似比k=,那么的相似比∽∽在相似多边形中,最简单的就是相似三角形在△ABC和△A´B´C´中,如果∠A=∠A´,∠B=∠B´,∠C=∠C´,我们就说△ABC与△A´B´C´相似,记作:△ABC∽△A´B´C.k就是它们的相似比.如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?ACBDFE已知:⊿ABC∽⊿DEF,你能得到哪些结论？CAFDABDE=BCEF=∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F；对应角相等、对应边成比例想一想讨论１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？30°20°45°45°1145°45°55直角三角形等腰直角三角形ABC30°A′B′C′30°60°60°60°55560°60°60°101010等腰三角形等边三角形1.两个全等三角形相似2.两个等腰直角三角形相似3.两个等边三角形相似4.两个直角三角形和两个等腰三角形相似一定一定一定不一定小结对应练习1课本P63练习1、如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形。OABCD【解】∴△AOB∽△BOC∽△COD∽△DOA∽△ABC∽△BCD∽△CDA∽△DAB.2、如果一个三角形的三边长分别为5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？你能发现周长之比与相似比有何关系？较大三角形的周长=15+36+39=90它们周长的比为：（5+12+13）：90=1:3知识点2确定相似三角形对应元素的方法（1）有公共角的，公共角是对应角；ABCDE如果△ABC∽△ADE,则∠A的对应角是_____∠A（2）有对顶角的，对顶角是对应角；ABCED如果△ABC∽△ADE,则∠BAC的对应角是________∠DAECABDEF(△ABC∽△DFE)（3）对应角所对的边是对应边，对应角所夹的边是对应边；如果∠A=∠D,则BCEF∠A=∠D∠B=∠F如果则ABDF（4）对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；CABDEF(△ABC∽△DFE)如果AB对应DF,则∠C=______;∠E如果AB对应DF,BC对应EF则∠B=____.∠F知识探索问题1如图，DE∥BC,△ADE与△ABC是否相似？要说明△ADE∽△ABC，根据定义，就要证明①对应角相等；②对应边成比例。①在△ADE与△ABC中,∠A=∠A,∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.F②过点D作DF∥AC交BC于F点。∵DE∥BC，∴DECF是平行四边形，∴CF=DE∵DE∥BC，又∵DF∥AC而CF=DE又∵∴△ADE∽△ABC而∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C.ABCED问题2如图，DE∥BC,△ADE与△ABC是否相似？∴△ADE∽△ABC将△ADE绕A点旋转得到如图，则△ADE与______.全等由问题1知：△ABC∽知识概括平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似．ABCDE“A”字形∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABCABCDE“X”字形∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC知识点3利用平行线判定三角形相似例1例题解析如图，在△ABC中，点D是边AB三等分点，DE∥BC,DE=5，求BC的长。BACDE分析：点D是边AB三等分点DE∥BC【解】∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC（）平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似∵点D是边AB三等分点∴BC=3DE=15已知：如图，AB∥EF∥CD，3图中共有____对相似三角形。△EOF∽△CODAB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC试一试1.如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE//BC，DE=5.求BC的长。ADEBC当堂训练解∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边（相交所构成的三角形与原三角形相似）达标检测一、填一填：1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____2、若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____3、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么A′B′C′的最大边长是_____4、已知△ABC的三条边长3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是______，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为全等4︰324cm直角三角形150cm2二、认真选一选1、下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等2、若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6cm和8cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）3、若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的度数是（）A.55°B.100°C.250D.不能确定4、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为BDCC三、判断1.如果两个三角形全等，则它们必相似。√2.若两个三角形相似，且相似比为1，则它们必全等。√3.如果两个三角形与第三个等腰直角三角形相似，则这两个三角形必相似。√4.相似的两个三角形一定大小不等。×解答题1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪其他两边的实际长度。解：20m=2000cm设其他两边的实际长度都是xcm，解得：所以，草坪其他两边的实际长度都是14mxx20m3.5cm3.5cm5㎝名师点睛知识点1相似三角形的相关概念对应边成比例、对应角相等的三角形称为相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．注意：根据相似三角形的定义判定两个三角形相似需要注意两点：一是对应边成比例；二是对应角相等，缺一不可．以练助学课时达标基础过关1．下列命题中，正确的是()A．相似三角形是全等的三角形B．一个角为30°的两个等腰三角形相似C．全等三角形都是相似三角形D．所有等腰直角三角形不一定相似C2．【教材P63练习T2变式】要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm、6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为()A．3cm B．4cmC．4.5cm D．5cm3．如图，△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，若AD＝4，则AB的长为()A．12 B．10C．8 D．6CBD158∶56.4cm3.75cm7．如图，在△ABC中，DE∥BC，已知CD＝1，BC＝1.8，DE＝1.5，求AD的长．能力提升CD14思维训练