工程力学简明教程 课件 7 扭转

1§7–1扭转的概念和实例§7–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§7–3薄壁圆筒的扭转§7–4圆轴扭转时的应力§7–5圆轴扭转时的变形§7扭转2§7–1扭转的概念和实例FFMAB扭转：杆端作用一对等值反向的力偶，且力偶作用面与杆轴线垂直，致使任意两截面都发生绕轴相对转动，称为扭转变形。

OBA

同步光轴钻机钻杆搅拌机轴3轴：工程中以扭转为主要变形的构件。4除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。5外力偶矩如何施加？如果想获得再大的外力偶矩怎么办？

OBA

6一、传动轴的外力偶矩§7–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图1分钟电机输入功：1分钟外力偶作功：7其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1kW=1.36PS传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：8感兴趣的同学到电商网站去了解：不同型号的电机参数是否如公式所示？到车展去了解：不同型号汽车的动力配置参数如何给出？9

主动轮上外力偶转向

传动轴转向从动轮上外力偶转向10二、扭矩及扭矩图

1.扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。3.扭矩的符号规定：右手螺旋规则，大拇指远离截面为正，反之为负。指向截面离开截面取右侧如何？Tx

2.截面法求扭矩114.扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

12[例7-1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制该轴扭矩图。nABCDM2

M3

M1

M4请同学们独立思考，自行完成！13解：①计算外力偶矩nABCDM2

M3

M1

M4x4.789.566.37

––②画扭矩图TheEnd!ThankYou!15§7–1扭转的概念和实例§7–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§7–3薄壁圆筒的扭转§7–4圆轴扭转时的应力§7–5圆轴扭转时的变形§7扭转16§7–3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、薄壁圆筒扭转时的切应力1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶Me。172.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。18

（1）横截面上无正应力（2）包含轴线的纵向截面上无正应力（3）横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力

，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。表明：薄壁圆筒切应力

大小：

A0：平均半径所作圆的面积。

T19二、切应力互等定理

切应力互等（双生）定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

左右两横截面的切应力是直观的，形成了力偶，为使单元体平衡，上下面必须有切应力。20三、剪切胡克定律：

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。

与的关系：21

T=Me

22

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定。（钢材的G值约为80GPa）

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比间关系：

只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。

剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。23四、剪切应变能acddxb

dy´´dzz

xy单元体微功：所以，应变能密度：24O对应τ-γ

曲线下包围的面积线弹性阶段：25§7–1扭转的概念和实例§7–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§7–3薄壁圆筒的扭转§7–4圆轴扭转时的应力§7–5圆轴扭转时的变形§7扭转26等直圆轴横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面一、圆轴扭转实验观察§7–4圆轴扭转时的应力27①各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

③变形前表面的方格变形后错动成菱形。根据观察到的现象，可以假设：①变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小均不改变，半径仍为直线；②变形后，相邻两截面间的距离不变，仅刚性的转过了一个角度。此假设称为圆轴扭转的平面假设。实验后：28二、圆轴扭转时横截面上的应力1.变形几何关系距圆心为

任一点处的

与到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率。

同一截面为常数！292.物理关系胡克定律：TtmaxTO303.静力学关系dA

令代入物理关系式得：31横截面上某点切应力该点到圆心的距离该截面扭矩该截面极惯性矩324.公式讨论仅适用于等直圆杆，但对横截面沿轴线变化缓慢（小锥度圆形杆）可近似用该公式；仅适用于的情况。②式中：

Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。33对于实心圆截面D

d

O思考一下，对于空心圆截面有什么变化？34对于空心圆截面dDO

d

35④应力分布

工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。tmaxT（空心截面）（实心截面）TtmaxT（空心截面）（实心截面）T（空心截面）（实心截面）36⑤最大切应力Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量）几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：37[例7-2]图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量G=80GPa。(1)画轴的扭矩图；(2)求轴的最大切应力，并指出其位置。M1M2ABCll解：(1)扭矩图4kN·m2kN·m+_Tx38T（2）最大切应力

max最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径。M1M2ABCll

max39三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([

]

称为许用切应力)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：40解：作轴的扭矩图ABCMAMBMC分别校核两段轴的强度[例7-3]图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径d2=100mm。

扭转力偶矩为MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m。

已知材料的许用切应力[

]=80MPa，试校核该轴的强度。结论：该轴满足强度要求。22kN·m14kN·m+_Tx41§7–1扭转的概念和实例§7–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§7–3薄壁圆筒的扭转§7–4圆轴扭转时的应力§7–5圆轴扭转时的变形§7扭转42§7–5圆轴扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形长为

l一段轴两截面间相对扭转角

为GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。43

对于变刚度的阶梯轴，且在不同段扭矩为常数的情况下，两端截面的相对扭转角：

对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影响机器的加工精度等。

因此对传动轴的扭转变形要加以限制。44三、刚度条件或[]为许用单位长度扭转角。或二、单位长度扭转角

在轴长l的范围内T为常量，且圆轴的横截面不变，则：45刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。46[例7-4]某型汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kN·m,材料的许用切应力

[

]=100MPa，剪切弹性模量为G=80GPa，轴的许用单位长度扭转角[′]=2/m

。试校核轴的强度和刚度。DdtMM47解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内，外径之比由强度条件

由刚度条件DdtMM强、刚度足够！48解：①扭矩如右图，各外力偶可由下式计算：

500400P1P3P2ACBTx–7.024–4.21(kN.m)[例7-5]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力,输出功率分别P2=200马力及P3=300马力。已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1º/m

，试确定：①AB段直径