2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中试题及答案

2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中

试题及答案

考试时间120分钟满分：50分

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

正面

mb

【解析】

【分析】本题考查俯视图，根据俯视图定义直接判断即可得到答案;

【详解】解：由题意可得，

的俯视图是A选项图形，

Oi

故选：A.

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果AC=4,BC=3,那么NA的正切值为（）

3434

A.-B.-C.-D.一

4355

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数定义即可得出结果.

【详解】解：・・・4C=4,BC=3,

3*二

AC4

故选：A.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键.

3.如图，两条直线被三条平行线所截，若A8:8C=2:3,DE=4,则放为（）

/\

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平仃线所截，叫得

ARDF

­=—，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段

BCEF

成比例是解此题的关键.

【详解】解：两条直线被三条平行线所截，

ABDE

vAB:BC=2:3,DE=4,

24

/.一=---9

3EF

；.EF=6,

故选:B.

4.如图，小明同学利用杆似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆A3长2m,它的影长3C

为1m，旗杆。E的影长所为6m,则旗杆的高度为（）

A.9mB.10mC.11mD.12m

【答案】I）

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同•时刻物高与影长成正比”

列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.

【详解】解：•.・同一时刻物高与影长成正比，

DEAR

'~EF~~BCy

;木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m,

DE2

•,•___一_9

61

/.DE=12m，

故选：D.

Q

5.已知点A（—2,yj,B（2,%），。4,%）都在反比例函数），二一的图象上，则

X

）'』）’2，为的大小关系为（）

A.y<y2V>3B.y<%v%c.为<为<yD.

%v必<X

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出y，为，总的值，再进行比较即

可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键.

Q

【详解】解：.点4（-2,yj,3（2,%），。（4,%）都在反比例函数）'=一的图象上，

X

8848c

=三二-4,=-=4,%=a=2・

•・,4>2>Y,

y<%v力，

故选：B.

6.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色

棋子，每个棋子除颜色外都相同.从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸

出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（）

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的

结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图

或列表得出所有可能结果数是解决此题的关犍.

【详解】画树状图为:

共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种,

・•・两次摸到相同颜色的棋子的概率二卷,

故选：C.

7.一次函数丁=一^（+。与反比例函数），=且在同一平面直角坐标系中的图象可能是

x

（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数图象所在象

限可以判定。的符号，根据〃的符号来确定直线所经过的象限，逐项判断即可，熟练掌握反

比例函数与一次函数的图象是解此题的关键.

【详解】解・：A、双曲线经过第一、三象限，则。>0,则一次函数丫=一依+。应该经过第

一、二、四象限，故本选项不符合题意；

B、双曲线经过第一、三象限，则。〉0,则一次函数y=一依+。应该经过第一、二、四象

限，故本选项不符合题意；

C、双曲线经过第二、四象限，则〃<0,则一次函数丁=一世+。应该经过第一、三、四象

限，故本选项不符合题意；

D、双曲线经过第二、四象限，则〃<0,则一次函数>=一办+。应该经过第一、三、四象

限，故本选项符合题意；

故选：D.

8.如图，在功长都为1的方格纸匕小明同学绘制了尹术字体“A”，已知点M.N

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作481尸。交PQ于点8,交MN于A,

由图可得：Q4=3,08=7,MN=2,MN//PQ,则▲OMNS~OQ。，从而得到

OAMN

—,代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键.

Otir(2

【详解】解：如图，作ABJ.PQ交PQ于点B,交MN于A,

由图可得：0A=3,08=7,MN=2,MN//PQ,

OMNS.OPQ,

OAMN32

---=----,即一=----

OBPQ7PQ

故选：D.

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,3c=6，点D为边48上一点，将△5CQ沿

C力折叠，点B恰好落在边A3上的点E处.若AE=3,则区力为（）

A.叵B.1C.立【）.-

323

【答案】B

【解析】

［分析］根据翻折的性质可得BD=DE，NCDE=NCDB=90。，设,则BE=2x,

AB=3+2x,利用锐角三角函数即可求解，此题考查了翻折的性质、锐角三角函数，熟练

掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解：由翻折的性质可得8O=DE，ZCDE=ZCDB=90°,

设则=4B=3+2x,

.QD_BC

BCAB

.Xy/5

**75-3+2x，

解得x=l或工=一』（舍去），

2

・•・BD=1,

故选：B

10.定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）,当点Q（%，%）满足

2（不+/）=x+）'2时，称点Q（X"%）是点尸（与y）的''倍增点”.在平面直角坐标系

中，若反比例函数y=3图象上的点A与点B都是点4（1,0）的“倍增点”，连接。4,

OB,AB,则.QA3的面积为（）

A.3B.4C.5I）.6

【答案】A

【解析】

4

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积，根据反比例函数），二一

x

图象上的点A与点8都是点［（IQ）的“倍增点”，求出A、8的坐标，从而得到直线的

解析式，得到点。的坐标，根据%3=5%”+54砂进行计算即可得出答案，求出A、4

的坐标是解此题的关键.

【详解】解：如图，

•.•反比例函数y=±图象上的点A与点8都是点4（1,0）的“倍增点”，

4

.-.2（x+l）=-+0,

入

整理得：/+/-2=0,

解得：N=-2,x2=1,

44

当X=-2时，y=—=-2,当x=1时，y=—=4,

—21

.・.A（-2,-2）,8（1,4）,

设直线A5解析式为）=依+。,

-2k+b=-2

将4（-2,-2）,8（1,4）代入解析式得：，

k+b=4

k=2

解得:

b=2

直线AB解析式为y=2x+2,

当x=0时，y=2,

二C（0,2）,

:.OC=2,

•*-S^AOB=S^AOC+S.c=Jx2x2+；x2x1=3

故选：A.

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11.已知点M(1,2)在反比例函数y=V的图象上，则k=—.

x

【答案】2

【解析】

【分析】把点(1,2)代入反比例函数)，中求出k的值即可.

x

【详解】解：把点M(1,2)代入得：A:=xy=lX2=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一

定适合此函数的解析式.

12.已知上=上=一，若b+dKO,则—■=___.

hd3b+d

【答案】|

【解析】

ac2

【分析】分别设a=2m,c=2n,根据一二一二一可用m、n表示出b、d,代入所给代数式即可

bd3

得答案.

【详解】设a=2m,c=2n,

♦&£=2,

bd3

b=3m,d=3n,

.a+c2m4-2n_2

b+d3m+3n3'

故答案为：!2

【点睛】本题考查等比性质的应用，若£=二二攵，则"二=k,熟练掌握等比性质是解题

bdD+d

关键.

13.为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞20条鱼，在每一条鱼身上做好记号

后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞500条鱼.如果在这500条鱼中有5条鱼是有记号的,

那么估计鱼塘中鱼的条数为条.

【答案】2000

【解析】

【分析】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，根据样本中有记号的鱼所占的比例等于

鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数.

【详解】解：估计鱼塘中鱼的条数为500+工=2000（条），

20

故答案为：2000.

14.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中

浪潮设计借助了黄金分割比以给人办调的美感.如图，若点C可看做是线段的黄金分割

点（AC<CB）,AB=10cm,则8C=cm.（结果保留根号）

【答案】（56一5）##（-5+56）

【解析】

【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答.

【详解】解：•点。可看作是线段的黄金分割点（AC<C3）,AB=10cm,

/.BC=AB=与10=（5逐-5）cm,

故答案为：（56-5）.

15.如图，反比例函数），=—且的图象经过菱形OA8C的顶点A,点4在），轴上，过点B

x

作）'釉的垂线与反比例函数的图象相交于点O.若N84O=60。，则点。的坐标是—

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出是

等边三角形，从而表示点A的坐标为再根据反比例函数图象上点的坐标特征

代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长。=2,把y=2代入解析式即可求得点。的横坐

标.

【详解】解：设菱形O4BC的边长为。，

・・・NB4O=60°，

.•,AO8是等边三角形，

.・•点A的坐标为一§a,ga,

\/

反比例函数y=-@的图象经过菱形OABC的顶点A,

x

---CI,-Cl=-y/3»

22

.•・。=2（负数舍去），

二•菱形O43C的边长为2,

.：£）点的纵坐标为2,

把y=2代入），;一立得，2=-在，

解得工二一正，

2

点。的坐标是一5",2.

\/

故答案为：.三，2.

2

16.如图，在矩形A5CZ）中，OE平分/ADC,交BC于点、E，EF1.AE，交CO于

点尸，以EF为边，作矩形A£AG,AG与04相交于点”.若CE=3,A〃=4,

则AE=_____.

【答案】2百

【解析】

【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，解答本题的关健是得到首先证明Rt-Eb丝Rt,A8£（ASA）,推

导出AE=E尸，结合矩形AEFG,推导出四边形AEFG为正方形，然后利用

/GAH=/FEC,NG=NC,推导出二GAHSK所，—=—,进而得到

AHEF

AGEF=AHCE,代入数据得至U4炉=4x3=12.

【详解】解：四边形ABCO是矩形，

AD//BC,CD=AB,ZB=ZC=90°,

.\ZAEB+ZE4B=90°,

\-EFLAE>

ZAEF=90。，ZAEB+/CEF=90°,

:./EAB=NCEF,

平分NAOC,

/.ZCDE=-ZADC=45°,

2

在Rt^COE中，CE=CD=AB,

在RuECF和RtAABE中，

Z5=ZC

<CE=AB,

/EAB=/CEF

/.Rt二EC7咨Rt_ABE（ASA）,

:.AE=EF,

在矩形AE/P中，AG=EF=AE,

二.四边形A*G为正方形,

二.NG=90。，

\AG//EF,

:"GAH=/FEC,

又ZG=ZC,

.JGAHSACEF,

.AG_CE

~AH=~EF，

:.AGEF=AHCE,

AE2=4x3=12>

/.AE=26，

故答案为：2G.

三、解答撅（本大题共IC个小题，共86分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.计算：

（1）2sin600+tan45°；

⑵cos2300-sin245°.

【答案】（1）6+1

（2）-

4

【解析】

【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；

（2）将特殊角三角函数值代入计算即可.

【小问1详解】

解：2sin600+tan45°

=24

2

=G4-1

【小问2详解】

解：cos2300-sin245°

的付

~4~2

—1

4

18.如图，小树A3在路灯。的照射下形成投影8C.

路灯。BC

(1)此光源下形成投影属于：(填“平行投影”或“中心投影”)

(2)已知树高A8为2m，树影3c为3m,树与路灯的水平距离族为4.5m.求路灯的

高度。P.

【答案】(】)中心投影；

(2)5m.

【解析】

【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

(1)由中心投影的定义确定答案即可；

(2)先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解.

【小问1详解】

此光源属于点光源，

•.•此光源下形成的投影属于中心投影，

故答案为：中心投影；

【小问2详解】

•••A8JLC尸，PO.LPC,

:.OP//AB,

ABC^OPC，

二.一AB=——BC,

OPPC

3

BP：—

OP3+4.5

解得：OP=5（m）,

「•路灯的高度为5米.

19.如图，AB.CD相交于点0,已知。4=6,00=8,08=4,0C=3,求证:

ZB=ZD.

【答案】证明详见解析

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据器=2,岩=2,得出器=黑，

结合N/XM=N8OC即可证明DOAs.BOC,利用相似三角形的性质即可求证，熟冻掌

握相似三角形的判定与性质是解此题的关键.

【详解】证明：•・・在△AQD和.B0C中，OA=6,0C=3,。力=8,08=4,

「9=2,型=2,

OC08

OAOD

'~6C~~OB'

・.•/DOA=/BOC,

:./\DOA^ABOC

:.ZB=ZD.

20.如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位似中心，五边形。48C。的五个顶点坐标

分别为0(0,0),4(-1,3),研1,4),C(4,2),0(3,0)

（1）以原点0为位似中心，在原点0的同侧作五边形O48CO的位似图形gG。，使

它与五边形OABCD的相似比为2:1.

（2）写出G的坐标______.

（3）已知五边形O4BCD的面积为13.5,则五边形。A4GR的面枳为______.

【答案】（1）图见解析

⑵（8,4）

（3）54

【解析】

【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，求位似图形对应点坐标，熟知位似

图形的性质是解题的关键；

（1）根据位似比为2:1,把A、B、C、D的横纵坐标都乘以2得到4、与、G、。的坐标，

再顺次连接。、4、用、Cn。即可；

（2）根据（1）所求，写出G的坐标即可；

（3）根据位似图形面积之比等于位似比的平方进行求解即可.

【小问1详解】

解：如图所示，五边形。人用G2即为所求;

【小问2详解】

解：由题意得，点C的坐标为(8,4),

故答案为：(8,4)

【小问3详解】

解:：五边形04AGR与五边形OABCO关于原点位似，且位似比为2：1,五边形。458

的面积为13.5,

・•・五边形。44G的面积为13.5x4=54,

故答案为：54.

21.九年级组织“11・9全国消防日”消防安全知识竞赛活动，其中本次竞赛成绩分为“优

秀”“良好”“一般”“较差”四个等级，为了解全体九年级同学的消防安全知识水平，随

机抽取了m个同学的竞赛成绩进行统计整理，根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图：

九年级涓防安全知识九年级消防安全知识

竞赛成绩条形统计图竞赛成绩扇形统计图

优秀良好一般较差等级

图I图2

请结合以上信息完成下列问题:

(1)加二

（2）如果九年级共有60。名学生参加本次活动，那么可估计竞赛成绩为“优秀”的学生有

人；

（3）此次活动中有五名同学获得满分，其中有三名女生和两名男生.现从这五名同学中随

机挑选两名同学参加校外比赛，请用列表法或画树状图法求出选中的两名同学恰好是一男一

女的概率.

【答案】⑴120；

3

（2）120；（3）一.

5

【解析】

【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估

计总体.

（1）用“较差”人数和其所占百分百即可求解；

（2）根据竞赛成绩为“优秀”学生的占比乘以600即可求解;

（3）列出表格得可能出现的所有情况，再由概率公式即可得出答案.

解题的关键是从统计图表中获取信息.

【小问1详解】

解：由题意可知：m=18・15%=120，

故答案为：120；

【小问2详解】

竞赛成绩为“优秀”的学生有6（）（）x==12（）人，

120

故答案为：120；

【小问3详解】

将三名女生，分别记作“女1,女2,女3”两名男生分别记作“男1,男2”，列表如下:

\女1女2女3男1男2

\

女11女1,女2）（女1,女3）（女1,男1）（女1,男2）

女2（女2,女1）（女女女3）（女女男1）（女2,男2）

女3（女3,女1）（女3,女2）（女3,男1）（女3,男2）

男1（男1,女1）（男1,女2）（男1,女3）（男b男2）

男2（男2,女1）（男2,女2）(男2,女3)(男2,男1)

总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同,

其中两名同学恰好是一男一女的有12种，

123

・••P(两名同学恰好是一男一女)=—=-

205

22.为确保身体健康，自来水最好烧开(加热到1(X)°C)后再饮用.某款家用饮水机，具有

加热、保温等功能.现将2()℃的自来水加入到饮水机中，先加热到1OOC.此后停止加热,

水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温.比如事先设置饮用温度为50C,则水温

下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用.整个过程中，水温y(C)与通电时间Mmin)

之间的函数关系如图所示.

(1)水温从20℃加热到100℃,需要min；请更接写出加热过程中水温)'与通电时

间x之间的函数关系式：______；

(2)观察判断：在水温下降过程中，》与x的函数关系是_____函数，并尝试求该函数的

解析式；

(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置

为40℃.现将2()℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热.则从加入自来水开始，

需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？

【答案】(1)4；y=2Ox+2O；

⑵反，产以

x

(3)14分钟.

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数的应用.

理解题意，正确求出解析式是解此题的关键.

（1）由图可得水温从2（）℃加热到1（X）℃,需要4min，设加热过程中水温与通电时间x之

间函数关系式为：）'="+〃，将（0,20）,（4,1（X））代入解析式得：J8=20,求出

k、〃的值即可；

（2）观察判断：在水温下降过程中，y与X的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，）'

LL

与X的函数关系为丁=」，将（5,80）代入解析式得：80=々，求出勺的值即可；

x5

（3）在），=迎中，当y=40时，—=40,解得：工二10,再由题意列式计算即可.

xx

【小问1详解】

解：由图可得：水温从20℃加热到100℃,需要4min，

设加热过程中水温y与通电时间X之间的函数关系式为：y=kx+bt

将（0,20）,（4,100）代入解析式得：J人20，

快

解得：k=w20

・•・加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式为：y=20K+20,

故答案为：4,y=20x+2。；

【小问2详解】

解：观察判断：在水温下驿过程中，）'与％的函数关系是反函数，

设在水温下降过程中，y与x的函数关系为＞=2,

X

将（5,80）代入解析式得：80=*,

解得：=400,

二•在水温下降过程中，）'与x的函数关系为：y=—,

x

故答案为：反；

【小问3详解】

解：由题意得：在），=%中，当y=40时，—=40,

AX

解得：x=10,

「•从加入自来水开始，需要等待的时间为：4+10=14niin,

.••则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉.

23.在“济南天下第一泉”风景区随处可以看到历代名人雅士留下的匾额和楹联，它们丰富

了园林的人文内涵.如图1,的突泉公园南门上悬挂着的匾额，图2中的线段AB就是这块

匾额的截面示意图.已知A8=0.8米，ZDAB=37°.从水平地面点C处看点B,仰角

ZMC£)=45°,且视线经过射线M4上的点D,从点E处看点A,ZAEM=53°,且

343

CE=2.07米.（参考数据：sin37°«-,cos37°«-,tan37°«-）AI

图1图2

(1)求点B到AO水平距离；

(2)求线段0A的长；

(3)求匾额上点A到地面的距离AM的长.

【答案】(1)0.48米;

(2)1.12*；

(3)3.8米.

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，.

(1)过点B作BHLMD,垂足为H,由A8=0.8米，ZZMB=37°,结合

BH=A3sinABAD即可求解；

(2)在Rt.HA”中，可得4"=A8xcos370=0.64米，由NCDW=45。，可得

/DBH=NCDM=45。,易知=8〃=0.48米，结合DA=D//+H4即可求解：

3

(3)在RtAAME中，可得ME=AMxtan37。=二A例，在Rt▲DMC中，4CDM=45°,

4

可得NCDW=NQCM=45。，易知DM=MC,结合D4+AM=ME+EC即可求解.

掌握作出适当的辅助线构建直角二角形是解题的关键.

【小问1详解】

解：过点B作垂足为H,如图所示:

在RtfBAH中，AB=0.8米，ZZMB=37°,

BH=AB・sin/BAD=0.8x|=0.48米，

答：点B到AO的水平距离是0.48米：

【小问2详解】

在Rt,8AH中，A8=0.8米，ZDAB=37°,

4

...AH=ABxcos37°=0.8x-=0.64米.

•・•/〃=90。，ZA/CD=45°,

.•.NCDM=45。,

ZDBH=ZCDM=45°,

.•.OH=8〃=0.48米，

.•.D4=OH+"4=0.48+0.64=1.12米，

答：OA的长为1.12米.

【小问3详解】

在RtZXAME中，ZAEM=53°,则N£W=37。,

3

/.ME=4Mxtan37°=-/4M.

4

在Rtr.£)A/C中，NCDM=NDCM=45。,

:•DM=MC.

，DA+AM=ME+EC,

3

...1.12+AM=—AM+2.07,

4

解得AM=3.8米，

答：匾额上点A到地面的孔离约为3.8米.

24.如图，正比例函数丫=履的图象与反比例函数），='的图象交于48两点，其中

x

A（T,3）.

（2）根据函数图象，直接写出不等式日-竺W0的解集；

x

（3）若点C在y轴上，且的面积为16,求点C的坐标.

3

【答案】（1）k=一一，m=一12；

4

（2）-4<X<0S£X>4；

（3）C（0,4）或（0,-4）.

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握面积的计算方法是解答本

题的关键.

（1）根据点A的坐标求上，的值即可；

（2）根据函数图象可直接写出不等式丘-竺40的解集；

X

（3）设=利用SAABCUSKCA+SMS，求出。的值即可得到答案.

【小问1详解】

解：将A（T,3）代入丫二依，得3=—U,

3

解得女=一二，

4

将A（-4,3）代入），=',得-4=g，

解得川=-12,

3

；.k=—,m=-\2；

4

【小问2详解】

解：由反比例函数图象的对称性可得点小的坐标为（4,-3）,

由图象可得：不等式依一生工0的解集为或“4：

【小问3详解】

解：由反比例函数图像的中心对称性知点6（4,-3）,

设OC=C1,则S△ABC=S.WA+S&OCB

解得。=4,

.•・。（0,4）或（0,-4）.

25.【问题情境】

如图1,小明把三角板EbG（ZGFE=30°）放置到矩形ABC。中，使得顶点E、F、G

分别落在人力、CD.AB上，你发现线段EO与AG有什么数量关系？

图1用2图3

直接写出结论：（不用证明）.

【变式探究】

如图2,小明把三角板E/G（NGFE=30。）放置到矩形ABC。中，使得顶点E、F、G

分别在AQ、BC、A8边上，若G4=4,AE=6,求BG的长.

【拓展应用】

如图3,小明把三角形EFG放置到平行四边形A8CD中，使得顶点E、F、G分别落在

AD.BC、A3边上，若,/FEG=/BAD,求出型的值.

AD5AD10EF

■…EDrr[-EG3

【答案】(1)=v3;(2)BG=6^3—4;(3)=—

AGEF8

【解析】

【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出匹=ian300=9，再证明

EF3

AGE^DEF,根据相似三角形对应边成比例可得任=2=立；

DEEF3

变式探究：过点F作尸H_LAO,同（1）可证△尸E"s/\£GA，根据相似三角形对应边

FHPP厂

成比例可得K===求出"7,再证四边形4?”是矩形，即可求解：

AEGE

拓展应用：过点F作NCBW=N84。交4。的延长线于点M,交CD于点K,则

/CFM=/BAD=/GEF,再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明BW=DC,

FGAE43

再证/\ABES/\MEF，推出——=—，再证FM=DC=A3=—AO，AE=—AO，

EFFM510

EG

代入可得——的值.

EF

【详解】解：问题情境：

•••三角板石厂G中，ZGFE=3O°,

GF

•"——=tan30°=

EF

四边形ABC。是矩形，

ZA=ZD=90°,

・•・ZAEG+ZAGE=90°,

由题意知ZGEF=90°,

・•・NAEG+NOE尸=90。，

ZAGE=/DEF,

又N4=ND，

A：.AGES：,DEF,

.AGGE

~DE~~EF~^^

.•旦=6

AG

EDr-

故答案为：—=V3.

AG

变式探究:

如图，过点F作尸H_LAQ,垂足为H,

•：FHLAD，

"HE=NA=90°,

・：NEFH+NFEH=90。,NGEA+NFEH=90。,

ZEFH=ZGEA

:.AFEHsAEGA,

・•.—空s

AEGE

・・・4E=6,

:.FH=66

ZA=ZB=ZEHF=90°,

二四边形A3FH是矩形，

/.AB=FH=6日

BG=AB-AG=6y/3-4.

拓展应用：

如图，过点F作NCFM二NBA力交4。的延长线于点M,交C。于点K.

4CFM=ZBAD=/GEF,

•••四边形A8C。是平行四边形,

/.AD//CB,/BAD=NC,

:"CFM=tFMD,ZC=ZCDM,

4CFM=ZC=/CDM=乙FMD,

•.FK=CK,DK=MK,

:.FM=DC,

・・"=NGEF=/FMA,

ZA+ZAGE=NGEF+/FEM即ZAGE=ZMEF,

.•.△ABESAMEF,

EGAE

'~EF~~FM'

AB4AE_3

而一子而一记‘

43

：.FM=DC=AB=-AD,AE=—AD,

510

.EGAEa\oAU。3

,~EF~~FM~iAD_8,

5

【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判

定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键.

26.小静发现希腊数学家曾利用反比例函数图象将一个角三等分，具体方法如下：

第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角/A08的顶点与原点。重合，角的一边。8与

工轴正方向重合.在平面直角坐标系里，绘制函数），=1的图象，图象与已知角的另•边0A

x

交于点P.

第二步：以。为圆心、以20尸为半径作弧，交函数），=」的图象于点R.

x

第三步：分别过点。和R作X轴和y轴的平行线，两线相交于点M,连接。W,得到NMO8

（如图1）.

这时NMO324408.

3

为什么NMO8=gzAOB?小静想要证明这个结论却没有思路，便询问老师.

老师进行了指导：分别过点尸和R作）'轴和x轴的平行线，两线交于点。（如图2）,解答

这道题的关键就是证明。Q，M三点共线，在平面直角坐标系中，证明三点共线最直接

的做法是先用两点确定一条直线的表达式，再证明第三点在这条直线上.

老师指导后，小静若有所思.请你和小静一起，完成下列问题.

（1）已知C（T，O）,0（0,2）,E（l,4）,请说明C、ZX石三点共线；

（2）在“二等分角”的作图中（如图2）,请证明。Q,M二点共线；

（3）在（2）的基础上，请证明NMOA=g/AOB.

【答案】（1）详见解析；

（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求出直线CE解析，把点。的坐标代入解析式判断即可；

⑵设贝待定系数法求出的解析式，

kci\\a\b

把点Q的坐标代入解析式判断即可;

（3）设PR交QM于点、D,由题意得四边形PORW为矩形，从而得到NOOR=NORQ,

由外角定理.，ZPDO=2/DOR,再结合矩形的性质可得NPOM=NPDO=2NMO3,

即可得证.

【小问1详解】

解：设直线CE解析式为广依+〃，将C（T，。），E（l,4）代入得，

0=-k+b

'4=k+b'

k=2

解得《

b=2

y=2x+21

将x=0代入得，y=2,

・・・。在直线CE上，

•••C、D、E三点共线；

【小问2详解】

解：PM〃x轴，MR〃y轴,

设力J端｝

la)\b)

设。M的解析式为y=匕,

—=bk,

a

k=—,

ab

二.直线OM的解析式为：y=-x,

ab

当工=〃时-，y=-

bt

・••《咽，

..•点Q在直线ow上：

【小问3详解】

解：设相交QM于点。,

y

•・•过p,R作Ey轴的平行线,

..・四边形PORW为矩形，

DQ=DR

ZDOR=ZDRQ,

「•由外角定理，4PDO="DOR,

OR//OB,

ZDQR=4MOB,

/PDO=2/MOB,

又四边形PORM为矩形，

:.PR=2PD,

-PR=2PO,

:.PD=PO,

/POM=ZPDO=2NMOB,

/.AMOB=-AAOB.

3

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性

质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键.

2023-2024学年山东省济南市历下区九年级上学期数学期中

试题及答案

考试时间120分钟满分：50分

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

正面

mb

【解析】

【分析】本题考查俯视图，根据俯视图定义直接判断即可得到答案;

【详解】解：由题意可得，

的俯视图是A选项图形，

Oi

故选：A.

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果AC=4,BC=3,那么NA的正切值为（）

3434

A.-B.-C.-D.一

4355

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数定义即可得出结果.

【详解】解：・・・4C=4,BC=3,

3*二

AC4

故选：A.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键.

3.如图，两条直线被三条平行线所截，若A8:8C=2:3,DE=4,则放为（）

/\

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平仃线所截，叫得

ARDF

­=—，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段

BCEF

成比例是解此题的关键.

【详解】解：两条直线被三条平行线所截，

ABDE

vAB:BC=2:3,DE=4,

24

/.一=---9

3EF

；.EF=6,

故选:B.

4.如图，小明同学利用杆似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆A3长2m,它的影长3C

为1m，旗杆。E的影长所为6m,则旗杆的高度为（）

A.9mB.10mC.11mD.12m

【答案】I）

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同•时刻物高与影长成正比”

列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.

【详解】解：•.・同一时刻物高与影长成正比，

DEAR

'~EF~~BCy

;木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m,

DE2

•,•___一_9

61

/.DE=12m，

故选：D.

Q

5.已知点A（—2,yj,B（2,%），。4,%）都在反比例函数），二一的图象上，则

X

）'』）’2，为的大小关系为（）

A.y<y2V>3B.y<%v%c.为<为<yD.

%v必<X

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出y，为，总的值，再进行比较即

可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键.

Q

【详解】解：.点4（-2,yj,3（2,%），。（4,%）都在反比例函数）'=一的图象上，

X

8848c

=三二-4,=-=4,%=a