热点专题 2-1 函数的基本概念及其性质（解析式定义域值域）（解析版）

备战高考数学成套的一轮复习，二轮复习，专题高分突破，考前回归，模拟试卷尽在备战高考QQ群722859698也可联系微信fjshuxue加入夸克网盘群3T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期备战高考数学成套的一轮复习，二轮复习，专题高分突破，考前回归，模拟试卷尽在备战高考QQ群722859698也可联系微信fjshuxue加入夸克网盘群3T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期专题2-1函数的基本概念（解析式，定义域，值域）近4年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2021年浙江卷：第12题，5分函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主.(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域

(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数

(3)了解简单的分段函数，并会应用2022年浙江卷：第14题，5分2023年北京卷：第11题，5分2024年上海卷，第2题,5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）【题型1】函数的概念 2【题型2】同一函数的判断 4【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式） 5【题型4】建立方程组求解析式（方程思想） 6【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑） 8【题型6】求具体函数的定义域 9【题型7】已知定义域求参数 11【题型8】抽象函数的定义域问题 13【题型9】分离常数法求值域 15【题型10】换元法求函数的值域 16【题型11】对勾函数值域问题 18【题型12】已知值域求参数范围 19【题型13】分段函数及其应用 20模块二核心题型模块二核心题型·举一反三【题型1】函数的概念一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x).下列关系中是函数关系的是（）A．等边三角形的边长和周长关系B．电脑的销售额和利润的关系C．玉米的产量和施肥量的关系D．日光灯的产量和单位生产成本关系【答案】A【解析】根据函数关系的定义可得，选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A下列图象中，表示函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函数的概念即可求解.【详解】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应，对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数，对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数，综上可知，是函数的个数为.故选：A.【巩固练习1】下列图象中，能表示函数y=fx图象的是（

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.【解答过程】解：∵一个x只能对应一个y，∴①③符合题意，对于②中，当x>0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义；对于④中，当x=0时，一个x对应两个y，不符合函数的定义.【巩固练习2】设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（

）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解.【详解】①中：因为在集合中当时，在中无元素与之对应，所以①不是；②中：对于集合中的任意一个数，在中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中：对应元素，所以③不是；④中：当时，在中有两个元素与之对应，所以④不是；因此只有②满足题意【题型2】同一函数的判断两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同.（2024·重庆·二模）下列函数中，与y=x是相同的函数是A．y=x2 C．y=x2x【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数y=x的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.【解答过程】对于A选项，函数y=x2=x定义域为对于B选项，函数y=lg10x=x的定义域为对于C选项，函数y=x2x的定义域为x对于D选项，y=x−12+1=x−1+1【巩固练习1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是()A．fB．fxC．fD．f【解题思路】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可.【解答过程】选项A:函数fx的定义域是x>0，函数g选项B:函数fx的定义域是x≠−2，函数g选项C:函数fx的定义域是x≠kπ+π2选项D:函数fx和gx的定义域都是全体实数，且【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．f(x)=x,g(x)=x2xC．f(x)=x,g(x)=x,x≥0【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，函数f(x)=x的定义域为R，函数两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数f(x)=对于C中，函数f(x)=对于D中，函数f(x)=x的定义域为R，故选：C.【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式【答案】；（2）m＜0【解答】解：，由f(0)＝1得c＝2，故．因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以即2ax＋a＋b＝2x，所以EQ\B\lc\{(\a\al(2a＝2,a＋b＝0))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(a＝1,b＝－1))，所以【巩固练习1】已知二次函数满足，且.求的解析式【答案】【思路点拨】设，利用建立恒等式求解即可；【详解】设二次函数（），因为，所以.由，得，得，所以，得，故.【巩固练习2】已知函数f(x)=−x2−2x+3，则f(x+1)=【解题思路】代入函数解析式计算即可.【解答过程】解：因为f(x)=−x2−2x+3f(x+1)=−x故答案为：−x【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）已知函数f(x)=ax−b(a>0)，f(f(x))=4x−3，则f(2)=．【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得a,b的值，将2代入可得结果.【解答过程】由题意，得f(f(x))=f(ax−b)=a⋅(ax−b)−b=a即a2=4ab+b=3a>0，解得a=2【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).（广东深圳实验校考）已知函数满足，且，则.【答案】【思路点拨】用替换,再解方程组可得答案.【详解】由①，用替换，得②，①×2－②，得，得.【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知，则.【答案】【思路点拨】令，得到，进而求得函数的解析式.【详解】令，则且，所以，所以函数的解析式为【巩固练习2】若对任意实数，均有，求.【答案】.【解析】利用方程组法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案为：.【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式.【答案】【思路点拨】根据已知把换成，建立方程组求解.【详解】因为，把换成有：，联立，解得.【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.函数fx满足若fgx=9x+3，A．fx=3x C．fx=27x+10 【解题思路】对fgx的式子适当变形，即可直接求出【解答过程】因为fg所以f3x+1=9x+3=3若函数，且，则等于（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】令，则，即故选：D.【巩固练习1】已知函数f1−x=1−x2A．1x−12−1x≠0C．4x−12−1【解题思路】利用换元法令t=1−x，运算求解即可.【解答过程】令t=1−x，则x=1−t，且x≠0，则t≠1，可得ft所以fx【巩固练习2】已知函数fx满足：fx−1x=A．fx=xC．fx=x【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式.【解答过程】因为fx−1x=【巩固练习3】设函数，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则可得所以，所以，故选：B【题型6】求具体函数的定义域求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.函数的定义域为________【答案】【解析】已知函数的定义域为，则函数的定义域为______【答案】【解析】由函数的定义域是，得到，故即，解得:；所以原函数的定义域是：.【巩固练习1】函数fx=3−xA．−∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.【解答过程】由题意得3−xx−1≥0x−1≠0，解得【巩固练习2】函数的定义域为()A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2).【巩固练习3】（2024·山东泰安·三模）已知函数fx=x2xA．−∞,1 B．−∞,−1C．−∞,−1∪−1,0 【解题思路】先求得函数fx【解答过程】因为fx=x2x−4x，所以所以函数fx−1x+1需满足x−1<0且x+1≠0【题型7】已知定义域求参数函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义域求参数.一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较容易.若函数f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【解题思路】由题意可知kx2+kx+1>0【解答过程】函数f(x)=若k=0，则不等式为1>0若k≠0，则k>0Δ=综上可知，实数k的取值范围是0≤k若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】的定义域是R，则恒成立，时，恒成立，时，则，解得，综上，．故答案为：．【巩固练习1】已知函数fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(−∞,1]∪[9,+∞【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】由题意得mx2+(m−3)x+1≥0当m=0时，不等式可化为−3x+1≥0，其解集不是R，不符合题意；当m≠0时，由该不等式恒成立可得m>0m−32−4m≤0综上，实数m的取值范围是1≤m≤9【巩固练习2】已知函数f(x)=a2−1x2+(a+1)x+1的定义域为A．−1,53 C．53,+∞【解题思路】分a=1、a=−1、a≠±1三种情况，结合二次函数的性质即可求解.【解答过程】当a=1时，f(x)=2x+1，则2x+1≥0，得x≥−12当a=−1时，f(x)=1，定义域为R，符合题意；当a≠±1时，由题意得关于x的不等式a2故a2−1>0Δ=(a+1)综上，实数a的取值范围是(−∞【巩固练习3】已知函数fx的定义域x∣a2−4a<x<a2−8是关于xA．2+6,+∞C．2,2+6 D．【解题思路】依题意解不等式即可.【解答过程】函数fx定义域非空集，则a2－4a＜记gx因为−2−a<−2−2=−4，所以gx>0的解集为依题意有a2−8≤−a−2或a2−4a≥2，所以又a>2，a2+a>4+2=6，所以【题型8】抽象函数的定义域问题求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【详解】∵函数的定义域为，即，可得，∴函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为.已知函数的定义域是，则的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．【巩固练习1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为________【答案】【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【详解】∵函数的定义域为，即，可得，∴函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为.【巩固练习2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求出，则定义域为，再利用，解出即可.【详解】，则，的定义域为，所以，解得，故其定义域为【巩固练习3】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以．故选：D【巩固练习4】（2024·陕西西安·一模）若函数fx的定义域是[0，4]，则函数gA．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【解题思路】根据分式与fx【解答过程】要使函数有意义，依题意需有x≠00≤2x≤4解得，0<x≤2【题型9】分离常数法求值域一次分式函数：分离常数法+图像法，形如的函数第一步：分离常数，将分子变为常数分离出常数和分子为常数的分式第二步：结合反比例函数的值域求函数的值域．函数的值域为________【答案】【详解】因为，又因为，所以，所以函数的值域为．【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得.【详解】因为，又因为，所以，所以，所以，所以函数，的值域为．【巩固练习2】函数的值域为________【答案】【详解】因为，又因为，所以，所以函数的值域为．【题型10】换元法求函数的值域求根式型函数值域：换元法形如的函数第一步：把函数中的根式设为一个变量t，并用t表示x，求出t的取值范围．第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数．第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域．函数的值域是．【答案】【思路点拨】通过变量代换将函数转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】解：由题意，函数的定义域为，令，则，，函数转化为，，∵，对称轴为，最大值为，∴当时，，即值域为，∴函数的值域是.【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【思路点拨】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设，则，且，则函数可化为，所以函数的值域为【巩固练习2】函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【思路点拨】根据换元法以及二次函数的性质求解结果.【详解】令，则．设函数，当时，取最大值9．因为，所以．函数的值域为.【巩固练习3】（2024·湖北·三模）函数y=x−4x−x2A．2−22,4 B．0,4 C．0,2+22【解题思路】由4x−x2⩾0，解得0⩽x⩽4．可得函数f(x)=y=x−4x−x【解答过程】解：因为y=x−由4x−x2⩾0可得函数y=f(x)=x−4x−x2又f'(x)=1−2−x令gx=4x−x2−(2−x)，则令4x−x2−(2−x)=0即f(x)在0,2−2上单调递减，在2−所以x=2−2又f(2−2)=2−22，f(0)=0∴函数y=x−4x−x2【题型11】对勾函数值域问题对于对勾函数，是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现（看课本上好像也没有叫对勾函数），可以通过图像法或构造基本不等式来求值域求函数的值域．【答案】【分析】考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值域，注意讨论x的正负．【详解】解：当当且仅当x=1取等号，当当且仅当x=1取等号故函数的值域为(-∞，-2]U[2，+∞)求函数的值域．（1）（2）【答案】；【巩固练习1】求函数的值域．【答案】【巩固练习2】求函数的值域．（1）（2）【答案】；【题型12】已知值域求参数范围这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值。这个例题中，可以通过判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式一元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关系求得参数。1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析。2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数，我们要get到的是：为了让值域能达到XX，我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不够了。3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合。若函数的值域为，则实数m的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【思路点拨】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围.【详解】因为函数的值域为，所以能取遍所有大于或等于零的实数，即方程在实数范围内有解．所以，解得．（2023上·宁波·余姚中学高一校考）已知函数的值域为，则函数的定义域为________【答案】【思路点拨】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解【详解】由值域为，得，故，即的定义域为，令得，故的定义域为【巩固练习1】（襄阳市第一中月考）已知函数的值域为，求实数k的取值范围．【答案】【思路点拨】根据函数的值域为，可得是函数的值域的子集，再分和两种情况讨论即可.【详解】因为函数的值域为，所以是函数的值域的子集，当时，，符合题意，当时，则，解得，综上所述，.【巩固练习2】（2023·山东省实验中学校考）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（

）A．-4 B．-2 C．1 D．1【答案】A【思路点拨】依题意知的值域为，则方程的两根为或，可得，，从而确定当时，取得最大值为，进而解得.【详解】依题意，的值域为，且的解集为，故函数的开口向下，，则方程的两根为或，则，，即，则，当时，取得最大值为，即，解得：.【题型13】分段函数及其应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．（2024·吉林长春·三模）已知函数f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，则A．1 B．2 C．4 D．8【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可.【解答过程】由函数可得，f(−3)=f(−1)=f(1)=2（2024·广东佛山·二模）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位