数学-江西省金太阳2025届高三下学期2月联考试题和答案

学校班级姓名考号学校班级姓名考号高三数学试卷注意事项：题目要求的.1.已知集合A={x|-4<x<3},B-{x|-2≤x<5},则AUB=A.{x|-2≤x<3)B.{x|-4<x≤-C.(x|3<x<5}A.2-iB.-2-iC.1-2i或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n7.已知函数若关于x的方程[f(x)]²-(a+1)f(x)+a-0恰有C.(-0,3)U{4}D.(-,1)U(1,3)U{4)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出9.近年来，人工智能(AD技术发展迅猛，其市场规2024年这十年间世界AI市场规模(单位：十亿美元)的数据：市场规模从表中数据可以得出的正确结论为A.2015年至2024年这十年间世界AI市场规模逐年增加B.2015年至2024年这十年间世界AI市场规模的第80百分位数为80.5C.2015年至2024年这十年间世界AI市场规模的方差比去掉其中的最小值与最大值后的方差大D.2015年至2024年这十年间世界AI市场规模与去掉其中的最小值与最大值后市场规模的10.已知O为坐标原点，抛物线C的方程为y²=2px(p>0),过点M(2,0)且斜率为k的直线交C于A,B两点，点A在第四象限，设直线OA,OB的斜率分别为k,kz,下列结论正确的是11.如图1,在矩形ABCD中，已知BC=3,E为CD的中点，分别沿AE和BE将△ADE和△BCE折起，使点C,D重合为一点，记为P,得到三棱锥P-ABE,如图2,设点P在平面A.点O一定在∠AEB的平分线上B.AB长度的取值范围为(0,+x)C.三棱锥P-ABE的高的最大值D.三棱锥P-ABE12.已知随机变量X的分布列为X03Pabc14.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且15.(13分)已知函数f(x)=x²,g(x)=e".(1)若函数f(x)图象上某点的切线与坐标轴围成的三角形面积为2,求f(x)的图象在该点(2)求函数y=g(x)-f(x)在[0,2]上的最大值与最小值之和.16.(15分)(2)若,求实数y的取值范围.17.(15分)如图所示的几何体ABC-A₁B₁C₁是由直三棱柱(侧棱垂直于底面)被一个不平行于底面的面A₁B-C₁.(1)求AD的长；(2)若BD=2√5,求直线B₁C₁与平面A₁BD所成角的正弦值；18.(17分)已知双曲线C右顶点为A(V2,0),且它的一条渐近线的方程为(2)若P是双曲线C上异于顶点的一个动点，过点A作双曲线C的两条渐近线的平行线，19.(17分)(2)对于数列a1,a₂…,an(n≥2)的任意一个排列φ=(φ(1),φ(2),…,φ(n)),即φ(1),②,并计算对应排列φ的个数.【高三数学第4页(共4页)高三数学试卷参考答案1.DAUB={x|-3.A因为a·(2a-b)=5,所以2a²—a·b=8-8cos<a,b>=5,解得5.C因为f(一x)=f(x),所以f(x)=In6.B因为),所以7.D画出函数f(x)的图象，如图所示，设f(x)=t,则原方程可化为t²+(a+1)t+a=0,解得t=-1或t=-a.由图可知当t=-1时，f(x)=-1有因为原方程有4个不同的实数根，所以—a=-4解得a=4或1<a<3或a<1,则实数a的取值范围为(-∞,1)U(1,3)U{4}.8.A题图中的绳结是两个相扣的圆环，而(1)与(3)中的绳结由一根绳子扭成，(4)中的绳结由两个没有相扣的圆环构成，都不可能扭成题图中的绳结.(2)中的绳结可以无损伤地变为题图中的绳结.故这四个绳结中，可以无损伤地变为题图中的绳结的个数是1.9.ACD从数据看2015年至2024年这十年间世界AI市场规模是逐年增加的，A正确；80%×10=8,所以第80百分位数为(80.4+110.0)÷2=95.2,B错误；2015年至2024年这十年间世界AI市场规模的数据比去掉其中的最小值与最大值后市场规2015年至2024年这十年间世界AI市场规模与去掉其中的最小值与最大值后市场规模的中位数都是(29.0+40.7)÷2=34.85,D正确.10.AC因为△OMA为正三角形，所以点A在OM的中垂线上，所以点A的坐标为(1,—√3),所以3=2p,解得,A正确，B错误设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),且x₁<x2,则.联立方程消去x得y²-2pty-4p=0,所以y₁+y₂=2pt,y1y211.ACD取AB的中点F,连接PF,EF,则PFLAB,EF=BC=3,设AB=2m(m>0).因为AE=BE=√m²+9,所以EF⊥AB.因为PA=PB=BC=3,A所以PFLAB.又EF∩PF=F,所以AB_平面PEF,从而平面PEF⊥平面AEB,则点P在平面ABE内的投影O在射线EF上，且EF平分∠AEB,故A正确.因为PA=PB=BC=3,所以PF=√9-m².,由cosα=cos∠BEF·cos∠PEF,,设三棱锥P-ABE的高为h,1,则,可得g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+～)故C正确.由上知三棱锥P-ABE的体积,令tan²α=x(x>1),D正确.12.由题意可知13.(x+3)²+(y+2)²=9设圆C的圆心坐标为(a,b),则a-b+1=0,且半径r=|a|,所以(√5)²+b²=a²,所以5+(a+1)²=a²,解得a=-3,b=-2,所以圆C的标准方程为(x+3)²+(y+2)²=9.14.-3可化为2*f'(x)+2*In2·f(x)-x²=0.设,则g'(x)=0,所以g为常数),所以,则因为,所以f(x)在(-0,0)上单调递增，因为f(-3)=-72,所以t=-3.所以切线与坐标轴围成的三角形面积,解得xo=±2,…4分所以f(x)的图象在该点处的切线方程为y=4x-4或y=-4x-4.…分(2)因为y=e-x²,所以y'=e-2x,令h(x)=e-2x,则h'(x)=e²-2,7分所以y=e-x²在R上单调递增，从而在[0,2]上单调递增，…………12分故函数y=g(x)-f(x)在[0,2]上的最大值与最小值之和为1+分16.解：(1)因为acosA=bcosB,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=s因为a≠b,所以,从而…………2分由a=csinA=2sinA,得c=2,b=2cos…………………………4分2.……9分又是(0,+一)上的增函数，从而f(t)在(1,√2)上单调递增，所以所以,所以y的取值范围为(√2,+∞).………………15分17.解：(1)过点D作DD₁//AA₁交A₁C₁于点D₁,连接B₁D₁,因为DD₁//AA₁//BB₁,所以B,D,D₁,B₁四点共面.………1分又BD//平面A₁B₁C₁,BDC平面BDD₁B₁,平面BDD₁B₁∩平面A₁B₁C₁=B₁D₁,所以BD//B₁D,……2又AA₁=4,CC₁=1,AC=3,CC₁//DD所以AD=3-1=2.………………6分(2)由(1)知AD=2,又BD=2√5,AB=4,所以AD²+AB²=BD²,即∠BAD=90°.BD=(2,-4,0),BA=(0,-4,4),B₁C=(3,-4,-1).……………8分设平面A₁BD的法向量为m=(x₁,y₁,z₁),由取≈1=1,得m=(2,1.1).………10分设直线B₁C₁与平面A₁BD所成的角为0,则……………………12分(3)设平面C₁BD的法向量为n=(x2,y₂,z2),BC₁=(3,-4,1),所以平面A₁BD与平面C₁BD夹角的余弦值………………15分18.(1))解：…………………2分解得……………………5分(2)证明：设P(xo,yo),OM=uOP,ON=vOP,直线AM,AN的方程分别为因为OM=uOP,ON=vOP,所以OM=(uxo,uyo),ON=(vxo,vyo),所以.……10分 两式相减得2an+1=(n+1)an+2-nan+1,化简可………1分又a₁=1也满足上式，所以an=n,即{a,}的通项公式为a,=n.………4分(2)①由于a,=n,φ=(q(1),p(2),…,p(n))为1,2,…,n的一个排列，则当n=4时，φ的个数为4!,………5分由M={glg(i)≠i,i=1,2,…,n},不妨设φ满足φ(1)=2,则有φ(2)=1,φ(3)=4,p(4)=3或q(2)=3,φ(3)=4,p(4)=1