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构造三角形中位线的常用方法练素养第9章中心对称图形——平行四边形1234温馨提示：点击进入讲评A答案呈现[2023·南京一模]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，交AC于点G.1(1)求证：EF⊥AC；【证明】连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵E，F分别为边AB，AD的中点，∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥BD.∴EF⊥AC.(2)若∠DAC＝30°，AB＝2，则EF的长为______．1【点拨】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：2(1)△BEF是等腰三角形；【证明】∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°.∵BD⊥AC，∴∠CFD＝∠BFE＝90°－22.5°＝67.5°.又易知∠BEF＝67.5°，∴∠BEF＝∠BFE.∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形．【点方法】若已知一条线段的中点，可将另一线段延长一倍构造三角形的中位线解题．3【点拨】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG取最小值．过点D作DM⊥AC于点M，过点G作GP⊥AC于点P，则GP∥MD，利用平行四边形的面积求DM的长，再利用三角形的中位线定理可求PG的长，进而可求解．【答案】A[2023·东营](1)用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN＝∠PNM.4(2)用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F.求证：∠AEM＝∠F.【证明】由(1)知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD.∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM.又∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F.(3)用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【解】△CGD是直角三角形．理由如下：如图，连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，∵

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