初中数学试题大全（十二）整式难题

初中数学组卷：整式难题

一.选择题(共10小题)

1.已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,贝U多项式a2+b?+c2-ab

-be-ac的值为（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知实数x、y、zx2+y2+z2=4,则(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2的最

大值是()

A.12B.20C.28D.36

3.在求1+6+62+63+6，+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一

个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：

S=l+6+62+63+64+65+66+67+68+69(D

然后在①式的两边都乘以6,得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610(2)

②-①得6S-S=61°-1,即5s=610-1,所以S=@*,得出答案后，爱动脑筋

5

的小林想：

如果把"6"换成字母"a”(aW0且aWl),l+a+a2+a3+a4+...+a2014你

的答案是()

20141201512014..

A.J__ZkB..2_Zk.__Zk>.a2014-1

a-la-la

4.为了求1+2+22+23+...+22°口+22°12的值，可令s=l+2+22+23+...+22°ii+22°i2,则

2S=2+22+23+24+...+22012+22013,因此2S-S=22013-1,所以l+22+23+...+22012=22013

-1.仿照以上方法计算I+5+52+53+...+52012的值是()

A.52013-IB.52013+lC.f°13zj.P.2!二L

44

5.计算1+2+22+23+...+22°I°的结果是()

A.22tHi-IB.22OU+1C.y(22011-1)D.-(22011+l)

6.如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是

)

A・-yH（2ab-b^）B・（2ab-b2）gJ•兀（b2-a2）D・9兀（b2-a2）

4Z4o

7.受国际金融危机影响，我国的服装业也受到冲击，一个现实问题是今年的服

装换季提前到来，为了减少库存回笼资金，商场都采取了降价处理的策略，现有

甲、乙、丙三个商场销售同一品牌、同一价格、同一规格的某种服装，三个商场

的降价措施分别是：设pWq,甲：第一次降价p%,第二次降价q%；乙：第二

次降价P%，第一次降价q%;丙：两次均降价交0％.假如你是消费者，从节约

资金的角度你应该选择的商场是（）

A.甲B.乙C.丙D.甲或乙

8.计算多项式10x3+7x2+15x-5除以5x2后，得余式为何？（）

A.15x-5B.2X2+15X-5C.3x-1D.15x-5

5x2

9.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口

A,B,C的机动车辆数如图所示.图中Xi，X2,X3分别表示该时段单位时间通过

路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入

与驶出的车辆数相等），则有（）

A.X1>X2>X3B.X1>X3>X2C.X2>X3>X1D.X3>X2>X1

4-4-=2

10.设x、y、z是三个实数，且有:T1，则［的值是（）

xyyzzx

xy

A.1B.&C.WD.«

2

二.填空题(共10小题)

11.若m为正实数，且m-l_=3,则m2-匚

mm2

12.已知a-b=b-c=—,a2+b2+c2=l,则ab+bc+ca的值等于.

5

13。若Ja?_3a+l+b2+2b+l=(?贝年产--------

a

14.请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2)：

1

11\a-b)'=a-b

121,,

I；，](a—4)*=a*~lab-tf

14641(a—6)'=a2—3a~b—3ab~~lx

...............................(a-①'=a-4/b-6a%：7ab-1)

⑴(2)

根据前面各式的规律，则(a+b)6=.

15.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部

分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为.

16.观察下面的一列单项式：X,-2x2,4x3,_8x\...根据你发现的规律，第n

个单项式为.

17.计算

23452/45623456

—的结果是.

18.若m2-5m+l=0,则.

ID

19.已知xJ=3,则代数式x2」7的值为_____.

xx2

20.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为

(a+2b),宽为(a+b)的大长方形，则需要C类卡片张.

三.解答题(共10小题)

21.阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式

的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=

(a±b)2.

例如：(x-1)2+3、(x-2)2+2X>(L-2)2+当2是-2X+4的三种不同形式的

24

配方(即"余项"分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分).

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出x2-4x+2三种不同形式的配方；

(2)将a?+ab+b2配方(至少两种形式)；

(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

22.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为"神

秘数如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是"神秘数”

(1)28和2012这两个数是“神秘数"吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构

造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？

23.先阅读下列材料，再解答后面的问题.

一般地，若n且则叫做以为底的对数，记为

a=b(a>0aWl,b>0),nablogab

(即如4则叫做以为底的对数，记为即

logab=n).3=81,4381log381(Iog381=4).

计算以下各对数的值：

(1)Iog24=,log216=,log264=.

观察中三数、、之间满足怎样的关系式，嘀、

(2)(1)41664log24,16log264

之间又满足怎样的关系式；

(3)猜想一般性的结论：logaM+logaN=(a>0且aWl,M>0,N>0),

并根据基的运算法则：am.akamn以及对数的含义证明你的猜想.

24.认真阅读材料，然后回答问题:

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，

如：（a+b）i=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,...

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可

以单独列成表中的形式：

(a+b)l..............................................11

(a+b)?.........................................121

(a+b)-......................................1331

(a+b)t.................................14641

(a+b,.................................15101051

(a+b)6...............................1615201561

上面的多项式展开系数表称为"杨辉三角形"；仔细观察"杨辉三角形"，用你发现

的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）展开式的各项系数之和.

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系

数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.

25.根据以下10个乘积，回答问题：

11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；

16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.

（1）试将以上各乘积分别写成一个“4-水”（两数平方差）的形式，并写出其

中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（3）若用aibi，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2,a3,...»an»bi，b2»

b3,...»6为正数.试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明）

26.对于任何实数，我们规定符号::的意义是：［：［=ad-bc.按照这个规定

请你计算：当x2-3x+l=0时，x+1x-21的值.

3xx-l|

27.先化简，再求值：［（x+y）2-y（2x+y）-8xy］4-2x,其中x=2,y=--

，2

28.如果10b=n,那么b为n的劳格数，记为b=d（n）,由定义可知：10。5与

b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系.

(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)=,d(102)=；

(2)劳格数有如下运算性质：

若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n),d(—)=d(m)-d(n).

n

根据运算性质，填空：

更亘3(a为正数)，若d(2)=0.3010,则d(4)=,d(5)=，

d(a)---------------------------------

d(0.08)=；

(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的

劳格数，说明理由并改正.

X1.5356891227

d(x)3a-2a-a+c1+a-b3-3a-4a-3-b-6a-

b+cb-c3c2b2c3b

29.新知识一般有两类：第一类是不依赖于其它知识的新知识，如"数"，"字母

表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上进行联系，拓广

等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识.

(1)多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？

(2)在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？(写出三条即可)

(3)请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的

法则是如何获得的？(用(a+b)(c+d)来说明)

30.如果一个正方形的边长增加2cm,它的面积就增加24cm2,求原正方形的边

长.

初中数学组卷：整式难题

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.(2015•永州模拟)已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,则多

项式a2+b2+c2-ab-be-ac的值为()

A.0B.1C.2D.3

【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解.

【解答】解：由题意可知a-b=-l,b-c=-1,a-c=-2,

所求式=L(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca),

2

=—[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)],

2

=—[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],

=L[(-1)2+(-1)2+(-2)2],

=3.

故选D.

【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式

扩大2倍是利用完全平方公式的关键.

2.(2015•黄冈中学自主招生)已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,则(2x-y)2+

(2y-z)2+(2z-x)2的最大值是()

A.12B.20C.28D.36

【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,可以将(2x-y)2+(2y-z)2+(2z

-x)2,用x?+y2+z2和(xy+yz+xz)表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进

行求解.

【解答】解：•••实数x、y、z满足x2+y2+z2=%

/.(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2=5(x2+y2+z2)-4(xy+yz+xz)=20-2[(x+y+z)

2-(x2+y2+z2>1=28-2(x+y+z)2^28

...当x+y+z=O时(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)?的最大值是28.

故选C.

【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式.

3.(2014•永州)在求1+6+62+63+64+6,66+67+68+69的值时，小林发现：从第二

个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：

S=l+6+62+63+64+65+66+67+68+69(l)

然后在①式的两边都乘以6,得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610(2)

②-①得6S-S=61°-1,即5s=610-1,所以S=@*,得出答案后，爱动脑筋

5

的小林想：

如果把"6"换成字母"a"(aWO且a#l),l+a+a2+a3+a4+...+a2014你

的答案是()

201412015120141…

A.3___二1B.3一二1C・工一二1D・a2014-1

a-la-la

【分析】设S=l+a+a2+a3+a4+...+a2014,得出aS=a+a2+a3+a4+...+a2014+a2015,相减即

可得出答案.

【解答】解:设S=l+a+a2+a3+a4+...+a2°】4,①

则aS=a+a2+a3+a4+..+a2014+a2015,②，

②-①得：(a-1)S=a2015-1,

2015

.s_a-l

a-l

即Ha+a2+a3+a44-...+a2014=a2°15zl.,

a-l

故选：B.

【点评】本题考查了有理数的乘方，同底数塞的乘法的应用，主要考查学生的阅

读能力和计算能力.

4.（2014•金水区校级模拟）为了求1+2+22+23+...+22°11+22°】2的值，可令

S=l+2+22+23+...+22011+22012,则2S=2+22+23+24+..+22012+22013,因此2S-S=22013-1,

所以1+22+23+...+22012=22013-1.仿照以上方法计算1+5+52+53+...+52°12的值是

)

A.52013-1B.52013+lC.泮^士.守

44

【分析】根据题目所给计算方法,令S=1+5+52+53+...+52O】2,再两边同时乘以5,

求出5S,用5S-S,求出4s的值，进而求出S的值.

【解答】解：令S=l+5+52+53+...+52°i2,

则5S=5+52+53+...+52012+52013,

5S-S=-1+52013,

4s=52013

r-20131

则一zL.

4

故选D.

【点评】本题考查了同底数鬲的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的

关键.

5.（2015•黄冈中学自主招生）计算1+2+22+23+...+2?°】°的结果是（）

A.22011-1B.22011+1C.-（22011-1）D.-（22011+1）

【分析】可设其和为S,则2s=2+22+23+24+...+22叫2?叫两式相减可得答案.

【解答】解:设S=1+2+22+23+...+22°I°①

则2s=2+22+23+...+22°I°+22°I@

②-①得S=22°I】-1.

故选A.

【点评】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是设出和为S,并求出2s

进行做差求解.

6.（2009•江干区模拟）如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形,

A.-Tl(2ab-b2)B.-^-JT(2ab-b2)ATT(b2-a2)D.卷兀(b^-a2)

【分析】观察图形可知：阴影部分的面积=大圆的面积-小圆的面积，大圆的直

径=2，小圆的直径=—,再根据圆的面积公式求解即可.

2

【解答】解：据题意可知：阴影部分的面积$=大圆的面积Si-小圆的面积S2，

•.•据图可知大圆的直径=2，小圆的半径=-，

2

.•.阴影部分的面积S=H(旦)2-n(土M)2=U(2ab-b2).

224

故选A.

【点评】此题主要考查学生的观察能力，只要判断出两圆的直径，问题就迎刃而

解.本题涉及到圆的面积公式、整式的混合运算等知识点，是整式的运算与几何

相结合的综合题.

7.(2009•马鞍山校级一模)受国际金融危机影响，我国的服装业也受到冲击，

一个现实问题是今年的服装换季提前到来，为了减少库存回笼资金，商场都采取

了降价处理的策略，现有甲、乙、丙三个商场销售同一品牌、同一价格、同一规

格的某种服装，三个商场的降价措施分别是：设pWq,甲：第一次降价P%,第

二次降价q%;乙：第二次降价p%,第一次降价q%;丙：两次均降价四%.假

2

如你是消费者，从节约资金的角度你应该选择的商场是()

A.甲B.乙C.丙D.甲或乙

【分析】根据题意可分别得出甲、乙、丙两次降价后的售价的表达式，并进行计

算，再比较大小即可.

【解答】解：设此种服装的售价是x元，那么

甲两次降价后的售价=(1-p%)(1-q%)x；

乙两次降价后的售价=(l-q%)(1-p%)X；

丙两次降价后的售价=(1-四％)2x,

2

通过观察可知甲=乙，

而(1-p%)(i-q%)x=i0°°oT°o(p+q)+pqx=40°°°-4°°(p+q)+4pqx：

1000040000

(1_P+q%)2Y=4000()_4O0(p+q)+(p+q)2乂,

~2~40000

*.*（p+q）224pq,

.•.丙〉甲.

故选D.

【点评】本题考查了整式的混合运算.解题的关键是计算出甲、乙、丙两次降价

后的售价.

8.（2014•台湾）计算多项式10x，7x2+15x-5除以5x2后，得余式为何？（）

A.1X二5.B.2X2+15X-5C.3x-1D.15x-5

5x2

【分析】利用多项式除以单项式法则计算，即可确定出余式.

【解答】解：用直式计算，如图：

5x2）10X3+7X2+15X-5

10x3

7x2+15x-5

7x2

15x-5

所以：（10X3+7X2+15X-5）4-（5x2）=⑵+工）...（15x-5）.

5

故选：D.

【点评】此题考查了多项式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

9.（2014•雨花区校级自主招生）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某

高峰时刻，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示.图中

A,B,CXi，X2,x3

分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设单位时间内

在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（）

A.xi>x2>x3B.xi>x3>x2C.x2>x3>xiD.x3>x2>xi

【分析】给出一个交通环岛，通过图形给出一些数据，其实问题就是加减法，但

要抓住主线，即车辆的来源.据此列方程比较其大小一眼可见.

【解答】解：依题意，WXI=50+X3-55=X3-5=>X1<X3»

同理，X2=30+XI-20=Xi+10=>Xi<x2»

同理，X3=30+X2-35=X2-5=>X3<X2.

故选C.

【点评】段上的车辆数右有两部分组成，一是从A口进来的50辆，二是从段上

分流过来的x3-55,于是有XI=50+X3-55=X3-5,所以XI<x3,同理得x3<x2,

答案为C.

星』

xyz

10.设x、y、z是三个实数，且有，，则」^的值是（）

1,1,11

~~2^~2"+"2'=1.xyyzzx

xyz

A.1B.V2C..5.D.A/3

【分析】首先把L通分变为xKvz+xz一接着得到xy+yz+zx=2xyz,然

xyzxyz

后两边同时平方得到x2y2+y2z2+z2x2+2xyz(x+y+z)=4x2y2z2©,然后把\；+^~=1

xyx

22.22.22

通分变为xy+yz+zx=1，然后变为x2y2+y2z2+z2x2=x2y2z2,接着把它代入①

2,22

xyz

中即可解决问题.

【解答】解：•.4+1+1=2，

xyz

・

•--x-y-+-y-z--+-x-z-二力-

xyz

xy+yz+zx=2xyz,

两边平方得

x2y2+y2z2+z2x2+2xyz(x+y+z)=4x2y2z2©，

2„2,22.22

•xy+ytz+zx-]

2,22

xyz

.­.x2y2+y2z2+z2x2=x2y2z2@,

把②代入①得

x2y2z2+2xyz(x+y+z)=4x2y2z2,

2xyz(x+y+z)=3x2y2z2>

xyz(x+y+z)=3x2y2z24-2,

两边同时除以x2y2z?得

xyz(x+y4-z)

-2,22~2~，

xyz乙

xyyzzx2

故选C.

【点评】此题主要考查了利用完全平方公式进行恒等式变形然后求代数式的值,

是一个竞赛题，比较难，要求学生对于完全平方公式和代数变形比较熟练才能很

好的解决问题.

二.填空题（共10小题）

11.（2011•乐山）若m为正实数，且m-L=3,则m=-3.

min2——

2

【分析】由m2=3,得m?-3m-1=0,即向/）=拈，因为m为正实数，可得

m皿J52'4

出m的值，代入^^一与，解答出即可；

【解答】解：法一：由!„上=才导，

ID

2

得rr?-3m-1=0,即=--

,24

•m-W13m,-3-V13

••Illi-------------,1112-------------，

22_

因为m为正实数，..=3+叵

2

•2一1二（1）（.1）

*'m—7-、—）＜in+—）

m1nm

(3+风1)

=3X2+3+V13

2

2

y(3+V13)+4

2(3+713)

=3A/13；

法二：由m-^=抨方得：m2+-l--2=9,

mm2

m2+-L+2=13,即(m+1)2=13,又m为正实数,

w2m

ID

2

贝Iro(m+—)(m-0=3773.

m2mm

故答案为：3V13.

【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要

把代数式分解完全，可简化计算步骤.

12.(2005•宁波)已知a-b=b-c=3,a2+b2+c2=l,贝ijab+bc+ca的值等于--A..

525—

【分析】先求出a-c的值，再利用完全平方公式求出(a-b),(b-c),(a-c)

的平方和，然后代入数据计算即可求解.

【解答】W-：*.,a-b=b-c=A,

5

/.(a-b)2=_^L,(b-c)2=_1L,a-c=A,

25255

a2+b2-2ab=_5_,b2+c2-2bc=_^_,a2+c2-2ac=-^L,

252525

.,.2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=_2_+_^_+也=^£,

25252525

.,.2-2(ab+bc+ca)=^_,

25

1-(ab+bc+ca)="§!•,

50

；.ab+bc+ca=--A_=-

5025

故答案为：-

25

【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a-b=b-c=W,得到a-

5

c=回，然后对a-b=3,b-C=2,a-c=g三个式子两边平方后相加，化简求解.

5555

。•德阳）22则

13（2013a-3a+i+b+2b+l=0,|b|=——•

a

【分析】根据非负数的性质先求出a2+3、b的值，再代入计算即可.

2

a

【解答】解：77a2-3a+l+b2+2b+l=0,

二庄赢？（b+1）2=0,

/.a2-3a+l=0,b+l==0,

a+L=3,

a

:.（a+—）2=32,

a

Aa2+-^^7；

2

a

b=-1.

,,a2+-^2~|b|=7-1=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整

体求出a2+」_的值.

2

14.(2015•铜仁市)请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2)：

1

11(a-力：=a-b

121.,,

[；3](a-4)*=a*-Zf

14641(a-岁=a'-3ab■—点

...............................(a—坊'=/-4/b-6a%：-4a/-Zf

⑴(2)

根据前面各式的规律，则(a+b)6=a6+6a/+：15a4b2+20a3b3+15a2b“+6ab5+b6

【分析】通过观察可以看出（a+b）$的展开式为6次7项式，a的次数按降毒排

列，b的次数按升幕排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.

【解答】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

【点评】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应

用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.

15.（2012•佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形

之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为

2m+4.

a4

【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式

整理即可得解.

【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为X,

则4x=（m+4）2-m2=（m+4+m）（m+4-m）,

解得x=2m+4.

故答案为：2m+4.

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列

式是解题的关键.

16.（2013•呼伦贝尔）观察下面的一列单项式：X,-2x2,4x3,一gx,，...根据你

发现的规律，第n个单项式为（-2）「父.

【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律.本题中，奇

数项符号为正，数字变化规律是2nr,字母变化规律是

【解答】解：由题意可知第n个单项式是（-2）标、。

故答案为：（-2）nlxn.

【点评】本题考查找规律，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数

字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键.分别找出单项式的

系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.

17.(2013•南京)计算(i-LJ-2」)(L+lJ+l+l)-(I-IJ-A-L

2345232562345

-L)的结果是1.

62方力/一@一

【分析】设a=l-L-1-工-工，b=L+UL,然后根据整式的乘法与加减混

23452345

合运算进行计算即可得解.

【解答】解：设a=l-L-L-L-L,b=l+l+l+l,

23452345

则原式=a(b+—)-(a--)*b

66

=ab+岂-ab+—b

66

=—(a+b),

6

a+b=l--------1_+_1_+A.+A.+A-?：1,

23452345

••.原式=工.

6

故答案为：1.

6

【点评】本题考查了整式的混合运算，利用换元法可以使书写更简便且形象直观.

18.(2012•孝感模拟)若m2-5m+l=0,则23.

ID

【分析】由于mNO,把rr?-5m+l=0两边除以m可得到m+L=5,再把m+L==5

mm

两边平方得到m2+2+工25,变形即可得到m2+L的值.

22

mm

【解答】解：•「m?-5m+l=0,

m-5+—=0,艮|Jm+Aj=5,

mm

(m+—)2=25,

in

/.m2+2+J^=25,

2

ID

/.m2+J^=23.

2

m

故答案为23.

【点评】本题考查了完全平方公式：(a±b)2二a?±2ab+b2.也考查了代数式的变

形能力.

19.（2010•桂林）已知xJ~=3，则代数式丫2」7的值为7.

xx2

【分析】根据完全平方公式把已知条件两边平方，然后整理即可求解.

【解答】解：Tx+U,

X

（x+—）2=9,

X

即X2+2+A^9,

.”2+工9-2=7.

x2

【点评】本题主要考查完全平方公式，根据题目特点，利用乘积二倍项不含字母

是解题的关键.

20.（2008•盐城）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果

要拼一个长为（a+2b）,宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片3张.

aba

【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2,即需要一个边

长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab.

【解答】解：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.

则需要C类卡片3张.

故答案为：3.

【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，

利用各个面积之和等于总的面积也比较关键.

三.解答题（共10小题）

21.（2009・佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配

成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即

a2±2ab+b2=（a+b）2.

例如：（x-1）2+3、（x-2）2+2X.（lx-2）2+当2是X2-2X+4的三种不同形式的

24

配方(即"余项"分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分).

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出x2-4x+2三种不同形式的配方；

(2)将a?+ab+b2配方(至少两种形式)；

(3)已知a2+b?+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

【分析】(1)(2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知

材料可得x2-4x+2和a?+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不

同形式；

(3)通过配方后，求得a,b,c的值，再代入代数式求值.

【解答】解：(1)x2-4x+2的三种配方分别为:

x2-4x+2=(x-2)2-2,

x2-4x+2=(x+&)2-(2\^4)x,

x2-4x+2=(V5<-V2)2~x2;

(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab,

a2+ab+b2=(a+Xb)2+.^b2；

24

(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4,

=(a2-ab+J-b2)+(Ab2-3b+3)+(c2-2c+l),

44

=(a2-ab+Ajj2)+W(b2-4b+4)+(c2-2c+l),

44

=(a-lb)2+2(b-2)2+(c-1)2=0,

24

从而有a-A~b=O,b-2=0,c-1=0,

2

即a=l,b=2,c=l,

Aa+b+c=4.

【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a土b)2进行配方的能力.

22.(2006•浙江)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个

正整数为"神秘数".如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是

"神秘数"

(1)28和2012这两个数是“神秘数"吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构

造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？

【分析】(1)试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘

数；

(2)化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；

(3)设两个连续奇数为2k+l和2k-1,则(2k+l)2-(2k-1)2=8k=4X2k,

即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数.

【解答】解：(1)设28和2012都是“神秘数"，设28是x和x-2两数的平方差

得到,

则x2-(X-2)2=28,

解得:x=8,x-2=6,

即28=82-62,

设2012是y和y-2两数的平方差得到，

则y?-(y-2)2=2012,

解得：y=504,

y-2=502,

即2012=5042-5022,

所以28,2012都是神秘数.

(2)(2k+2)2-(2k)2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+l),

由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍.

(3)设两个连续奇数为2k+l和2k-1,

则(2k+l)2-(2k-1)2=8k=4X2k,

即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为

4的奇数倍这一条件.

.♦.两个连续奇数的平方差不是神秘数.

【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力.对知识点的考查，主要是平

方差公式的灵活应用.

23.(2012•安庆一模)先阅读下列材料，再解答后面的问题.

n

一般地,若a=b(a>0且aWl,b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为logab

(即logab=n).如34=81,贝U4叫做以3为底81的对数，记为Iog381(即log381=4).

(1)计算以下各对数的值：I。幻4=2,log?16=4>log?64=6.

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24>log216.Iog264

之间又满足怎样的关系式；

(3)猜想一般性的结论：logaM+logaN=loga(MN)(a>0且aWl,M>0,

N>0),并根据累的运算法则：am.an=am，n以及对数的含义证明你的猜想.

【分析】(1)根据材料叙述,结合22=4,24=16,26=64即可得出答案；

(2)根据(1)的答案可得出Iog24、Iog216、Iog264之间满足的关系式；

b2

(3)设logaM=bi，logaN=b2,则a"=M,a=N,分别表示出MN及bi+b2的值,

即可得出猜想.

【解答】解：(1)log24=2,log216=4,log264=6；

(2)log24+log216=log264；

(3)猜想logaM+logaN=loga(MN).

blb2

证明：设logaM=bi，logaN=b2>WJa=M,a=N,

故可得MN=abi・ab2=abi*b2,b!+b2=loga(MN),

即logaM+logaN=loga(MN).

【点评】本题考查了同底数嘉的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料

的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息.

24.(2012•沈阳模拟)认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式,

如：（a+b）1=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2»（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3»...

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可

以单独列成表中的形式：

(a+b)!..............................................11

(a+b)?.........................................121

(a+b)-.......................................1331

(a+b)t...................................1464I

(a+b)-.................................15101051

(a+b)6...............................1615201561

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形"；仔细观察"杨辉三角形"，用你发现

的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）11展开式的各项系数之和.

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系

数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.

【分析】（1）由题意可求得当n=l,2,3,4,...时，多项式（a+b）”的展开式是

一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；

（2）首先求得当n=l,2,3,4…时，多项式（a+b）口展开式的各项系数之和，

即可求得答案；

（3）结合（2）,即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系

数之和.

【解答】解：（1）•••当n=l时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第

三项的系数为：0=3,

2

当n=2时，多项式（a+b）?的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=2迎,

2

当n=3时，多项式（a+b"的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为:3=丝_,