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文档简介

3.4曲线与方程01知识回顾RetrospectiveKnowledge问题1我们学习过哪些曲线？我们是怎么研究这些曲线的？用解析几何的方法研究了圆，椭圆，双曲线，抛物线等。它的基本思路是建立曲线方程，利用方程研究曲线的性质。02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

引例

已知曲线C:第一、第三象限角平分线.

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f

(x，y)=

0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质．我们称这种研究几何的方法为坐标法．

基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想．例1

点M

(x，y)与定点F

(1，0)的距离和它到直线l：x

=

4的距离的比是常数

．求点M的轨迹．例1

点M

(x，y)与定点F

(1，0)的距离和它到直线l：x

=

4的距离的比是常数

．求点M的轨迹．例1变式

点M

(x，y)与定点F

(－1，0)的距离和它到直线l：x

=－

4的距离的比是常数

．求点M的轨迹．右准线左准线右准线左准线

直接将条件翻译成等式（几何关系转化为代数关系），整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做直接法．步骤：

（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；

（2）设点：设曲线上动点的坐标为(x，y)；

（3）限制条件：找出曲线上动点满足的限制条件；

（4）代入坐标：代动点坐标进限制条件中；

（5）化简式子．例2

已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是

，求点P的轨迹方程．例2

如图，已知点A，B的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是

，求点P的轨迹方程．

运用直接法应注意的问题：

（1）在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；

（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．例3

如图，在圆x2＋y2

=

9上任取一点P，过点P向

x

轴作垂线段PD，D为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程．例3

如图，在圆x2＋y2

=

9上任取一点P，过点P向

x

轴作垂线段PD，D为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程．

用从动点M的坐标（x，y）表示主动点P的坐标（x0，y0），然后代入主动点P所满足的曲线方程，整理化简便得到从动点M轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法．（1）设从动点的坐标(x，y)，主动点的坐标(x0，y0)；步骤：（2）建立从动点和主动点的坐标关系，并用从动点的坐标x，y，表示主动点的坐标x0，y0，即x0=f(x,y)，y0=g(x,y)；（3）确定主动点的方程即x0，y0的关系式F(x0，y0)=0；（4）把x0=f(x,y)，y0=g(x,y)代入上式消去x0，y0得到x，y的关系式，即为从动点的轨迹方程．03归纳总结SumU

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