线性代数第5版课件：二次型及其矩阵表示

线性代数引例表示什么曲面？方程双曲线标准方程：表示什么曲线？方程椭球面

一般地，二元二次方程确定一二次曲线,三元二次方程确定一二次曲面。为研究其性质,常通过可逆线性变换消去交叉项，化为标准方程：或n元二次齐次多项式——二次型仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形研究工具——矩阵

管理科学中也常需用线性替换将一个n元二次齐次多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。二次型及其矩阵线性替换矩阵合同二次型一、二次型及其矩阵定义1

n元二次齐次多项式称为x1,x2,…,xn的一个(n元)二次型.为了计算和讨论的方便，将xij的系数写成2aij，令aij=aji

，则有：——二次型的矩阵形式＝XTAX记f(X)＝XTAX，称A为二次型f(X)的矩阵，r(A)称为二次型的秩.注1:二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)；注2:二次型对称矩阵.例1.

将二次型

f(x1,x2,x3)＝2x1x2＋x22－4x2x3＋3x32

写成矩阵形式.解：

f(x1

x2

x3)＝(x1

x2

x3)

解：例3.写出二次型

f

＝(x1,x2,x3)

的矩阵.例2.

求对称矩阵所对应的二次型解:f(x1,x2,x3)＝x12＋5x22＋6x32－4x1x2－6x1x3－10x2x2定义2

形如的二次型称为标准形,其秩等于d1,d2,…,dn中非零元个数。

如何化二次型为标准形?为此,先介绍线性替换、矩阵合同等概念——＝YTDYf(Y)＝YTDY二、线性替换定义

设两组变量

为由变量x1,x2,…,xn到y1,y2,…,yn的一个线性替换其矩阵形式:

X＝CY.若线性替换的矩阵C可逆，则称X＝CY为可逆线性替换或非奇异(非退化)线性替换;若C为正交矩阵,则称X＝CY为正交替换。x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn，称关系Q为正交矩阵.0它是非退化的.∵系数行列式

如：解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度

即变换

X＝C1U，U＝C2YC1、C2为正交阵(1)(2)C1C2为正交阵

X＝(C1C2)Y1.非退化线性（正交）替换的合成仍然是非退化线性（正交）替换2.在欧氏空间中，正交替换保持向量长度不变。f(X)＝XTAX经可逆线性替换

X＝CY后：

f(X)＝(CY)TA(CY)＝YT(CTAC)Y＝YTBY称A与B合同三、矩阵合同定义设An×n

,

Bn×n

，若存在可逆阵C，使

CTAC＝B，则称A与B合同，记A

B.原二次型矩阵与新二次型矩阵合同.?B对称？定理经可逆线性替换,性质1

合同关系是等价关系（与相似关系类似)(1)反身性；(因为ETAE＝A)

(由CTAC＝B得:(由C1TAC1

＝B,C2TBC2

＝C得:A＝(C-1)

TB

C-1)C2T(C1TAC1)C2

＝(C1C2)TA(C1C2))

(2)对称性；(3)传递性.性质2若两个可逆矩阵合同，则它们的行列式符号相同。

性质3若两个矩阵合同，则它们的秩相等。定理经可逆线性替换，前、后二次型矩阵合同.可逆线性替换

X＝CY

f(X)＝(CY)TA(CY)＝YT(CTAC)Y＝YTBY新二次型的矩阵为B原二次型f(X)＝XTAX

注:1)∵CT,C可逆故，可逆线性替换不改变二次型的秩。B＝CTAC2)正交替换X=QY前后的二次型矩阵既合同,又相似.∴r(B)＝r(CTAC)＝r(AC)＝r(A)CTAC＝B合同相似QTAQ=B=Q–1AQ＝P–1AP作业:

P173

习题5.1

3,4,5,6

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

二次型的系统研究是从18世纪开始的，起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。

柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。

在化简成标