2025年上海市虹口区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，那么∠B的正切值为（）A． B． C． D．3．（4分）已知非零向量和，下列条件中，不能判定（）A． B．， C． D．，4．（4分）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y25．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论中（）A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞06．（4分）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，那么CO长为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，b＝2cm，c＝8cmcm．8．（4分）计算：2+3（﹣）＝．9．（4分）已知是二次函数，那么m的值是．10．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+3与y轴的交点坐标是．11．（4分）如果抛物线y＝（m﹣2）x2﹣2有最高点，那么m的取值范围是．12．（4分）已知抛物线在y轴右侧的部分是下降的，且经过（0，1），请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是．13．（4分）如图，直线AD∥EB∥FC，如果DE＝2EF，那么AB长是．14．（4分）已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC和△A′B′C′的最长边分别是5和10，如果△ABC的面积是6．15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果BD＝2AD，DE∥BC，，用、＝．16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面积是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanC＝2，D是AC上的动点，如果点C落到△ABD内（不包括边），那么CD的取值范围是．18．（4分）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，在△ABC中，AB＝10，tanC＝2，点D、E分别在边AB、AC上，那么DE＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2mx+m+1经过点B（﹣1，0）．（1）求m的值以及抛物线的对称轴；（2）将该抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，sinB＝，点D、E在BC的延长线上，且AD＝AC．（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点D作DE垂直AC交AB于点E，联结EC、BD交于点F．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）如果BC＝BE，求证：．23．（12分）根据以下素材，完成任务．探究淋浴喷头的位置素材1图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计），线段AB为手柄，射线BC为水流，手柄AB与墙EH的夹角∠HAB为淋浴喷头的“调整角”，记为α．已知AB长为20cm．素材2图3中的矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF＝90cm，EH＝195cm．为了方便在淋浴房里淋浴，人一直站在D处，DE＝52cm．素材3我们把人竖直站立时，头顶以下30cm处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减30cm．已知小明的身高是130cm，他爸爸和妈妈的身高分别是176cm和160cm．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图3的点A处，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处（即CD＝爸爸身高﹣30）．素材4参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，问题解决任务一求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点A到地面的距离AE．任务二爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即AE不变），把淋浴喷头的“调整角”α调整至60°①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点A′）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离AA′（精确到1cm）．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，联结AC，抛物线的顶点为点D．（1）求b的值和点D的坐标；（2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线BC上．①求点P的坐标；②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结BM，如果∠MBP＝∠ABD25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝2，E是CD的中点，且∠ACD＝2∠EBC．（1）求证：CE＝CF；（2）如果BC＝2AD，求tan∠ABC的值；（3）如果∠ABE＝∠ACB，求的值．

2025年上海市虹口区中考数学一模试卷参考答案与试题解析题号123456答案BDCABC一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个三角形 D．两个等腰三角形【解答】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，不符合题意；B、两个正方形一定相似；C、两个三角形不一定相似；D、两个等腰三角形不一定相似，故选：B．2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，那么∠B的正切值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，∴AC＝＝5，则∠B的正切值为＝，故选：D．3．（4分）已知非零向量和，下列条件中，不能判定（）A． B．， C． D．，【解答】解：不能判定∥的是选项C．故选：C．4．（4分）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【解答】解：抛物线y＝（x+2）2图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，（﹣3，y1）距离对称轴2个单位长度，（0，y2）距离对称轴5个单位长度；（1，y3）距离对称轴2个单位长度，根据开口向上，距离对称轴越远1＜y2＜y8．故选：A．5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论中（）A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜5，故A选项错误，不符合题意；∵＜0，∴＞0，∴b＜0，故B选项正确，符合题意；∵抛物线的图象与y轴的正半轴相交，∴c＞4，故C选项错误，不符合题意；根据函数图象，当x＝1时，∴a+b+c＜0，故D选项错误，不符合题意，故选：B．6．（4分）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，那么CO长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，∴CO＝3BO，∴CB＝BO+3BO＝4BO，∵∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，∴△ACB∽△OAB，∴＝，∴CB•BO＝AB6＝22＝5，∴4BO2＝8，解得BO＝1或BO＝﹣1（不符合题意，舍去），∴CO＝3，故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，b＝2cm，c＝8cm4cm．【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，c＝8cm，∴a2＝bc＝2×8＝16，∴a＝4（负值舍去），∴a＝7cm．故答案为：4．8．（4分）计算：2+3（﹣）＝3﹣．【解答】解：2+3（﹣）＝8+3＝3﹣．故答案为：4﹣．9．（4分）已知是二次函数，那么m的值是0．【解答】解：根据已知，得m2+2＝4，解得：m＝0．故答案为：0．10．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+3与y轴的交点坐标是（0，4）．【解答】解：令x＝0，得y＝4，故与y轴的交点坐标是：（4，4）．故答案为：（0，5）．11．（4分）如果抛物线y＝（m﹣2）x2﹣2有最高点，那么m的取值范围是m＜2．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣2）x2﹣6有最高点，∴抛物线图象的开口向下，∴m﹣2＜0，∴m＜8，故答案为：m＜2．12．（4分）已知抛物线在y轴右侧的部分是下降的，且经过（0，1），请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：由抛物线在y轴右侧的部分是下降的可知对称轴可确定为y轴，即b＝0，∴图象开口向下，取a＝﹣1，抛物线解析式为y＝﹣x2+c，把（0，1）代入，∴抛物线解析式为y＝﹣x3+1．本题答案不唯一．故答案为：y＝﹣x2+5（答案不唯一）．13．（4分）如图，直线AD∥EB∥FC，如果DE＝2EF，那么AB长是6．【解答】解：∵AD∥EB∥FC，∴，∵DE＝2EF，AC＝9，∴，∴AB＝6，故答案为：5．14．（4分）已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC和△A′B′C′的最长边分别是5和10，如果△ABC的面积是624．【解答】解：由题意得：＝（）2＝，S△ABC＝6，所以△A′B′C′的面积是＝24，故答案为：24．15．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果BD＝2AD，DE∥BC，，用、＝．【解答】解：∵BD＝2AD，，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．又∵，∴，∴．故答案为：．16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣3上，那么正方形ABCD的面积是36．【解答】解：由题意设D（m，2m），∵点A、D恰好在抛物线y＝x2﹣8上，∴2m＝m2﹣3，解得m＝3，m＝﹣19（舍去），∴D（3，7），∴正方形ABCD的边长为6，∴正方形ABCD的面积为36．故答案为：36．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanC＝2，D是AC上的动点，如果点C落到△ABD内（不包括边），那么CD的取值范围是1＜CD＜．【解答】解：∵∠ABC＝90°，tanC＝2，∴AB＝2BC，∵AC＝7，∴AB2+BC2＝3，∴AB＝2，BC＝，设C的对应点为C'，当C'在AC上时，如图：∵将△BCD沿BD翻折，∴∠BDC＝∠BDC'＝90°，∴tanC＝＝2，∵BD2+CD5＝BC2，∴（2CD）3+CD2＝5，∴CD＝2；当C'在AB上时，过D作DH⊥AB于H∵将△BCD沿BD翻折，∴BC＝BC'＝，∠CBD＝∠C'BD＝，CD＝C'D，∴△BDH是等腰直角三角形，tan∠BC'D＝2，∴BH＝DH，DH＝2C'H，设C'H＝x，则DH＝BH＝4x，∵C'H+BH＝BC'＝，∴x+2x＝，解得x＝，∴C'H＝，DH＝，∴C'D＝＝，∴CD＝；∵C'落到△ABD内（不包括边），∴1＜CD＜；故答案为：1＜CD＜．18．（4分）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，在△ABC中，AB＝10，tanC＝2，点D、E分别在边AB、AC上，那么DE＝或3．【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，，tanC＝6，∴，，∴AG＝8，BG＝6，∴BG＝5+4＝10，，作△ABC的中线AF，Q为△ABC的重心，∴，∵线段DE是△ABC的“重似线段”，∴当△ADE∽△ABC时，∴∠ADE＝∠B，，∴DE∥BC，∴，∴，∴，；当△AD'E'∽△ACB时，过B作BH⊥AC交AC于H，∴∠AE'D'＝∠ABC，∠AD'E'＝∠C，，∵BA＝BC＝10，∴∠C＝∠BAC，，∴∠BAC＝∠AD'E'，，Q在BH上，∴AE'＝D'E'，∵，∴，∵，∴，则，∴；综上：或，故答案为：或．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2mx+m+1经过点B（﹣1，0）．（1）求m的值以及抛物线的对称轴；（2）将该抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2mx+m+5经过点B（﹣1，0），∴4﹣2m+m+1＝5，解得m＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2+8x+3＝（x+2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；（2）将抛物线y＝（x+5）2﹣1向右平移n个单位后得到新抛物线为y＝（x+6﹣n）2﹣1，∵新抛物线经过原点，∴（8﹣n）2﹣1＝8，解得n＝3或1．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝10，sinB＝，点D、E在BC的延长线上，且AD＝AC．（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥CD于点M，在Rt△ABM中，AB＝10＝，∴AM＝5，∴BM＝＝8，∵BC＝5，∴CM＝BM﹣BC＝3，∵AD＝AC，AM⊥CD，∴CM＝DM＝2，∴tan∠ADC＝＝＝4；（2）∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴＝，∴BE＝20，∴DE＝BE﹣BC﹣CM﹣DM＝20﹣5﹣8﹣3＝9．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点D作DE垂直AC交AB于点E，联结EC、BD交于点F．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）如果BC＝BE，求证：．【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴△ADB∽△AEC．（2）∵△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC﹣∠ACE＝∠BFC﹣∠ABD，∴∠BDC＝∠BFC﹣∠ACE，∠BEC＝∠BFC﹣∠ABD，∴∠BDC＝∠BEC，∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCF＝∠BEC，CE2＝BC2+BE8＝2BC2，∴∠BCF＝∠BDC，BC6＝CE3，∵∠FBC＝∠CBD，∴△FBC∽△CBD，∴＝，∴BC2＝BF•BD，∴CE2＝BF•BD．23．（12分）根据以下素材，完成任务．探究淋浴喷头的位置素材1图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计），线段AB为手柄，射线BC为水流，手柄AB与墙EH的夹角∠HAB为淋浴喷头的“调整角”，记为α．已知AB长为20cm．素材2图3中的矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF＝90cm，EH＝195cm．为了方便在淋浴房里淋浴，人一直站在D处，DE＝52cm．素材3我们把人竖直站立时，头顶以下30cm处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减30cm．已知小明的身高是130cm，他爸爸和妈妈的身高分别是176cm和160cm．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图3的点A处，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处（即CD＝爸爸身高﹣30）．素材4参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，问题解决任务一求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点A到地面的距离AE．任务二爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即AE不变），把淋浴喷头的“调整角”α调整至60°①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点A′）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离AA′（精确到1cm）．【解答】解：作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，∵爸爸身高是176cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，∴CD＝176﹣30＝146（cm），∵AB＝20cm，α＝37°，∴BN＝20×sin37°≈20×0.60＝12（cm），AN＝AB×cos37°≈20×0.80＝16（cm），∵DE＝52cm，∠ABC＝90°，∴BM＝40（cm），∠CBM＝37°，∴CM＝40×tan37°≈40×6.75＝30（cm），∴DM＝146+30＝176（cm），∴EN＝176（cm），∴AE＝176﹣16＝160（cm）．答：点A到地面的距离AE约为160cm；（2）①当α＝60°时，∠ABN＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBM＝60°，∵AB＝20cm，∴AN＝10（cm），BN＝10，∴BM＝（52﹣10）（cm），∴CM＝（52﹣10）×﹣30≈59.96（cm），∴CD＝AE+AN﹣CM＝160+10﹣59.96≈110.04（cm），∵小明的身高是130cm，∴小明的舒适距离CD＝130﹣30＝100（cm），∵110.04＞100，∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处；②设点A移动到了点A′，此时在小明的“舒适喷淋点”，∴C′D＝100cm，由题意得：C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm，∴A′E＝C′D+C′M′﹣A′N′＝100+59.96﹣10≈150（cm），∴AA′＝AE﹣A′E≈10（cm）．答：固定器下降的距离AA′约为10cm．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，联结AC，抛物线的顶点为点D．（1）求b的值和点D的坐标；（2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线BC上．①求点P的坐标；②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结BM，如果∠MBP＝∠ABD【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，则OC＝3，∵tan∠CAO＝7，则OA＝1，0），将点A的坐标代入抛