2024-2025版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE13.1.3空间向量的数量积运算课后篇巩固提升1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.答案B2.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则FG·AB=(A.34 B.14 C.12解析由题意可得,FG=12AC,∴FG·AB=12AC答案B3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC所以(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(所以|AB|=|AC|,因此△ABC是等腰三角形.答案B4.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是()A.DA·PB=0 B.PCC.PD·AB=0 D.PA解析①DA⊥ABDA⊥PA⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒DA·PB=0;②同①知AB·PD=0;③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒PA·CD又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不肯定有BD⊥AC,故选B.答案B5.已知空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是()A.30° B.45° C.60° D.90°解析依据已知∠ACD=∠BDC=90°,得AC·CD∴AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=AC·CD+|CD∴cos<AB,CD>=∴AB与CD所成的角为60°.答案C6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A1B·B解析A=|A1B|·|A1D|·=2a·2a·cos60°=a2.答案a27.四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为.

解析∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,∴BD∴BD12=(=BA2+AD2+DD12=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2,∴|BD1|=2.∴点B与点D1两点间的距离为答案28.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=.

解析因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos60°-4×cos60°+2×cos60°=3,所以|a-2b+c|=3.答案39.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为PC=所以|PC|2=PC2=(PA+=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·=62+42+32+2|AD||DC|cos120°=61-12=49,所以|PC|=7,即PC=7.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求A1C解设正方体的棱长为1,AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.∵A1