高考数学冲刺专题六综合测试题

2012高考数学冲刺专题六综合测试题7．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为()A．12B．20C．24D．36解析：设图中阴影部分的面积为S.由几何概型的概率计算公式知，eq\f(S,12×5)＝eq\f(600,1000)，解之得S＝36.故选D.答案：D8．如图所示的流程图，最后输出的n的值是()A．3B．4C．5D．6解析：当n＝2时，22>22不成立；当n＝3时，23>32不成立；当n＝4时，24>42不成立；当n＝5时，25>52成立．所以n＝5.故选C.答案：C9．正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4，将3个这样的四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为()A.eq\f(1,64)B.eq\f(13,64)C.eq\f(37,64)D.eq\f(61,64)解析：将正四面体投掷于桌面上时，与桌面接触的面上的数字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于eq\f(1,4).若与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除，则三个数字中至少应有一个为3，其对立事件为“与桌面接触的三个面上的数字都不是3”，其概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，故所求概率为1－eq\f(27,64)＝eq\f(37,64).答案：C10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是()A．5B．6C．7D．8解析：设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.故选B.答案：B11．(2011·杭州市第一次教学质量检测)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：发球次数X的分布列如下表，X123Pp(1－p)p(1－p)2所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)(舍去)或p<eq\f(1,2)，又p>0，故选C.答案：C12．(2011·济宁一中高三模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝eq\x(a1)eq\x(a2)eq\x(a3)eq\x(a4)eq\x(a5)，其中A的各位数中，a1＝1，ak(2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3)，出现1的概率为eq\f(2,3).记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝()A.eq\f(8,27)B.eq\f(16,81)C.eq\f(11,3)D.eq\f(65,81)解析：ξ＝1，P1＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,34)，ξ＝2时，P2＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3·eq\f(2,3)＝eq\f(8,34)，ξ＝3时，P3＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,34)，ξ＝4时，P4＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,34)，ξ＝5时，P5＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,34)，E(ξ)＝1×eq\f(1,34)＋2×eq\f(8,34)＋3×eq\f(24,34)＋4×eq\f(32,34)＋5×eq\f(16,34)＝eq\f(11,3).答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2011·广东湛江十中模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为________．解析：如图所示，给出的可行域即为正方形及其内部．而所求事件所在区域为一个圆，两面积相比即得概率为eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)14．(2011·山东潍坊模拟)给出下列命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；(3)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(4)若z＝eq\f(1,i)，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是________．解析：由复数的概念及性质知，(1)错误；(2)错误；(3)错误，若a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正确，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.答案：(4)15．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________．(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)解析：P＝1－eq\f(A\o\al(9,12),129)≈0.985.答案：0.98516．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y等于________．解析：由图中程序框图可知，所求的y是一个“累加的运算”，即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.答案：63三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．(参考下表)P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为eq\f(19,50).(2)K2＝eq\f(50×18×19－6×72,25×25×24×26)＝eq\f(150,13)≈11.5，∵K2>10.828，∴有99.9%的把握说学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．18．(本小题满分12分)在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新一页．在风帆比赛中，成绩以低分为优胜．比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如表一所示：根据上面的比赛结果，我们如何比较各选手之间的成绩及稳定情况呢？如果此时让你预测谁将获得最后的胜利，你会怎么看？解：由表一，我们可以分别计算5位选手前7场比赛积分的平均数和标准差，分别作为衡量各选手比赛的成绩及稳定情况，如表二所示．表二排名运动员平均积分(eq\x\to(x))积分标准差(s)1李丽珊(中国香港)3.141.732简度(新西兰)4.572.773贺根(挪威)5.002.514威尔逊(英国)6.293.195李科(中国)6.573.33从表二中可以看出：李丽珊的平均积分及积分标准差都比其他选手的小，也就是说，在前7场比赛过程中，她的成绩最为优异，而且表现也最为稳定．尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同(实际情况也确实如此)，因此可以把前7场比赛的成绩看做是总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后的比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，李丽珊的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此在后面的4场比赛中，我们有足够的理由相信她会继续保持优异而稳定的成绩，获得最后的冠军．19．(本小题满分12分)(2011·苏州五中模拟)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,0≤y≤6))表示的区域为A，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,x－y≥0))表示的区域为B，在区域A中任意取一点P(x，y)．(1)求点P落在区域B中的概率；(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．解：(1)设区域A中任意一点P(x，y)∈B为事件M.因为区域A的面积为S1＝36，区域B在区域A中的面积为S2＝18.故P(M)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).(2)设点P(x，y)落在区域B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点P(x，y)有21个．故P(N)＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).20．(本小题满分12分)某中学部分学生参加全国高中数学竞赛，取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频率分布直方图”(如图)，请回答：(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖率是多少？(3)这次竞赛成绩的中位数落在哪段内？(4)上图还提供了其他信息，请再写出两条．解：(1)由直方图(如图)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴eq\f(14,32)×100%＝43.75%.(3)参赛同学共有32人，按成绩排序后，第16个、第17个是最中间两个，而第16个和第17个都落在80～90之间．∴这次竞赛成绩的中位数落在80～90之间．(4)①落在80～90段内的人数最多，有8人；②参赛同学的成绩均不低于60分．21．(本小题满分12分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别用40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．解：(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”．Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2，(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，∴P(X＝0)＝P(eq\x\to(AB))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54，∴X的分布列为X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.22．(本小题满分14分)(2011·潍坊市高考适应训练)2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织计划派出12名心理专家和18名核专家赴日本工作，临行前对这30名专家进行了总分为1000分的综合素质测评，测评成绩用茎叶图进行了记录，如图(单位：分)．规定测评成绩在976分以上(包括976分)为“尖端专家”，测评成绩在976分以下为“高级专家”，且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作．这些专家先飞抵日本的城市E，再分乘三辆汽车到达工作地点福岛县．已知从城市E到福岛县有三条公路，因地震破坏了道路，汽车可能受阻．据了解：汽车走公路Ⅰ或Ⅱ顺利到达的概率都为eq\f(9,10)；走公路Ⅲ顺利到达的概率为eq\f(2,5)，甲、乙、丙三辆车分别走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响．(1)如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取6人，再从这6人中选2人，那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少？(2)求至少有两辆汽车顺序到达福岛县的概率；(3)若从所有“尖端专家”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能独立开展工作的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解：(1)根据茎叶图，有“尖端专家”10人，“高级专家”20人，每个人被抽中的概率是eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，所以用分层抽样的方法，选出的“尖端专家”有10×eq\f(1,5)＝2人，“高级专家”有20×eq\f(1,5)＝4人．用事件A表示“至少有一名‘尖端专家’被选中”，则它的对立事件eq\x\to(A)，表示“没有一名‘尖端专家’被选中”，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5).因此，至少有一人是“尖端专家”的概率是eq\f(3,5).(2)记“汽车甲走公路Ⅰ顺