高二数学基本初等函数的导数公式综合测试题

选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()A．x4 B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案]B[解析]∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{eq\f(1,f(n))}(n∈N*)的前n项和是()A.eq\f(n,n＋1) B.eq\f(n＋2,n＋1)C.eq\f(n,n－1) D.eq\f(n＋1,n)[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{eq\f(1,f(n))}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2 B．4＋2x3C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x[答案]A[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0[答案]B[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝()A．0 B．－1C．－60 D．60[答案]D[解析]∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))[答案]A[解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)[答案]A[解析]由f′(x)＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－eq\f(1,5) B．0C.eq\f(1,5) D．5[答案]B[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝eq\r(x)，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.[答案]eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))，1＋sin2eq\r(x)[解析]f[φ(x)]＝eq\r(1＋sin2x)＝eq\r((sinx＋cosx)2)＝|sinx＋cosx|＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))))).φ[f(x)]＝1＋sin2eq\r(x).12．设函数f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案]eq\f(π,6)[解析]f′(x)＝－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(5π,6)))，∴φ＋eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq\f(π,6).13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案]32x(1＋2x2)7[解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝xeq\r(1＋x2)的导数为________．[答案]eq\f((1＋2x2)\r(1＋x2),1＋x2)[解析]y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝x′eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f((1＋2x2)\r(1＋x2),1＋x2).三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋eq\r(1＋x2))；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(4)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx).[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝eq\f(1,x＋\r(1＋x2))·(x＋eq\r(1＋x2))′＝eq\f(1,x＋\r(1＋x2))(1＋eq\f(x,\r(1＋x2)))＝eq\f(1,\r(1＋x2)).(3)y′＝eq\f((ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′,(ex－1)2)＝eq\f(－2ex,(ex－1)2).(4)y′＝eq\f((x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′,(x＋sinx)2)＝eq\f((1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx),(x＋sinx)2)＝eq\f(－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1,(x＋sinx)2).16．求下列函数的导数：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosx·sin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2eq\f(x－1,x＋1).[解析](1)y′＝[cos2(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·eq\f(1,x2＋x－1)logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋eq\f(2x2＋x,x2＋x－1)logae.(4)y′＝eq\f(x＋1,x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)))′log2e＝eq\f(x＋1,x－1)log2eeq\f(x＋1－x＋1,(x＋1)2)＝eq\f(2log2e,x2－1).17．设f(x)＝eq\f(2sinx,1＋x2)，如果f′(x)＝eq\f(2,(1＋x2)2)·g(x)，求g(x)．[解析]∵f′(x)＝eq\f(2cosx(1＋x2)－2sinx·2x,(1＋x2)2)＝eq\f(2,(1＋x2)2)[(1＋x2)cosx－2x·sinx]，又f′(x)＝eq\f(2,(1＋x2)2)·g(x)．∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))；(2)y＝f(eq\r(x2＋1))．[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝eq\f(1,x)，则y′x＝y′u·u′x＝f′(u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))＝－eq\f(1,x2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))).解法2：y′＝eq\b\lc