高三理科数学二轮复习讲义模块一第二讲数形结合思想

第二讲数形结合思想思想方法诠释数形结合思想：是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题[解析](1)函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，如图所示，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B.(2)方程eq\f(1,x＋2)＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数y＝eq\f(1,x＋2)与y＝a|x|的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y＝eq\f(1,x＋2)与y＝a|x|的图象，如图所示，由图易知，a>0.当－2<x<0时，设函数y＝a|x|＝－ax的图象与函数f(x)＝eq\f(1,x＋2)的图象相切于点(x0，y0)，因为f′(x0)＝－eq\f(1,x0＋22)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－ax0，,y0＝\f(1,x0＋2)，,\f(1,x0＋22)＝a，))解得a＝1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)，故选C.[答案](1)B(2)C利用数形结合求方程解、函数零点问题的2个注意点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．[对点训练]1．(2017·大连模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．[解析]作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.[答案](3，＋∞)2．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．[解析]如图所示，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．[答案][－1,1]要点二利用数形结合思想解决最值问题[解析](1)作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0))对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，平移直线y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择A.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6，故选B.[答案](1)A(2)B利用数形结合思想解决最值问题的3点思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．[对点训练]3．(2017·石家庄市高三二检)在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值为()A．－1B．－eq\f(5\r(2)＋1,7)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(7,5)[解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，表示可行域内的点与点P(－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5).故选D.[答案]D4．(2017·武汉二模)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．[解析]因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2)，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))，故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))要点三利用数形结合思想解决不等式、参数问题[解析](1)曲线方程可转化为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆，如图，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时，圆心(2,3)到直线y＝x＋b的距离等于2，∴eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1＋2eq\r(2)或b＝1－2eq\r(2)，因为是下半圆，所以b＝1－2eq\r(2)；当直线过(0,3)时，可得b＝3，所以1－2eq\r(2)≤b≤3.故选C.(2)对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.因为f(x)的草图如图所示，观察f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logeq\s\do8(\f(1,3))x，x>1))的图象可知，当x＝eq\f(1,2)时，函数f(x)max＝eq\f(1,4)，所以|k－1|≥eq\f(1,4)，解得k≤eq\f(3,4)或k≥eq\f(5,4).[答案](1)Ceq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．[对点训练]5．(2017·河南郑州月考)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是()A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－2,0)D．[－2,0)[解析]在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．[答案]A6．(2017·济南一模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≤0，,sinπx，x>0，))若f(x)－ax≥－1，则实数a的取值范围是________．[解析]依题意得f(x)≥ax－1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝ax－1(该直线过定点(0，－1)、斜率为a)的图象，如图所示．设直线y＝ax－1与曲线y＝x2－4x(x≤0)相切于点(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2x0－4，x0≤0，,x\o\al(2,0)－4x0＝ax0－1，))解得x0＝－1，a＝－6.结合图形可知，实数a的取值范围是[－6,0]．[答案][－6,0]—————————————————————运用数形结合思想分析解决问题的三原则1．等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质