山西省百校联考2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析

2023~2024学年高二年级期末考试试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A B. C. D.2.若复数满足（是虚数单位），则（）A B. C.2 D.33.函数图象在点处的切线方程为（）A B.C. D.4.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（）A. B. C.2 D.36.已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.样本数据28、30、32、36、36、42的（）A.极差为14 B.平均数为34C.上四分位数为36 D.方差为2010.已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（）A. B. C. D.11.如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（）A当时，B.当时，若，则C.当时，直线与直线所成角的大小为D.当时，三棱锥的体积的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________．13.在的展开式中，项的系数为__________．14.过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知的边长分别为5，7，8，边长为8的边上的中线长为d.（1）求的最大内角的正弦值；（2）求d.16.夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为．（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；（2）若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望．17.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为.（1）证明：；（2）已知点，求面积的最大值.19.对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，.（1）若是函数的“可移2相反数点”，求；（2）若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间；（3）设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围.

2023~2024学年高二年级期末考试试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将集合化简，再由并集的运算，即可得到结果.【详解】因为，且，所以.故选：A2.若复数满足（是虚数单位），则（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的模的计算公式计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A3.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求导，可得切点坐标和斜率，进而可得切线方程.【详解】因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为.故选：C.4.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解．【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆则应满足即．故选：D．5.已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得到的范围，然后判断即可.【详解】因为．所以，，．当时，，，当且仅当，时等号成立，当时，，，当且仅当，时等号成立．故的取值范围为，只有不在此范围内．故选：B．6.已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差数列求和公式得到，，从而得到，并得到不等式组，求出.【详解】因为，，所以，，所以，，由，，得，即，解得，即的取值范围是.故选：D.7.棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，确定球心及外接球半径，然后利用球的表面积公式，求出球O的表面积．【详解】如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，，连接，设线段的中点为O，则O为其外接球的球心．因为等边三角形ABC的边长为3，所以，所以球O的半径，故球O的表面积．故选：B．8.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得，是要求解关于对称轴对称的两点与对称轴的关系问题，需要先求出对称轴通式，再判断在符合定义域取值范围内有多少条对称轴，确定每相邻两零点与对称轴关系，再通过叠加法表示出，结合数列通项公式求和即可【详解】函数令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，，令，可得，所以函数在上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得，故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.样本数据28、30、32、36、36、42的（）A.极差为14 B.平均数为34C.上四分位数为36 D.方差为20【答案】ABC【解析】【分析】利用极差，平均数，百分位数，以及方差的定义，计算数据即可判断．【详解】极差为，故A正确；平均数为，故B正确；因为，所以样本数据的上四分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C正确；方差，故D错误．故选：ABC.10.已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线定义得到的轨迹方程为，，联立四个选项中的直线，求出交点横坐标，从而判断出答案.【详解】则由题意得，故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，故，，故点满足的轨迹方程为，，A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确；B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确；C选项，联立与，解得，不合要求，C错误；D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确.故选：ABD11.如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，若，则C.当时，直线与直线所成角的大小为D.当时，三棱锥的体积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论.【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点，所以也是的中点，所以，故A正确；对于B，当时，，所以，，，满足，故B正确；对于C，过作交于，可知面，与直线成角即为，当时，，在中，则，所以，所以，故C错误；对于D，易知是正三角形，三棱锥体积为，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】利用正切函数的倍角公式计算，计算即可．【详解】.故答案为：13.在的展开式中，项的系数为__________．【答案】【解析】【分析】先求出每部分含的系数，再利用组合数求解即可.【详解】由于的展开式中的系数是，而.故答案为：.14.过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为__________．【答案】．【解析】【分析】根据题意，将曲线，变形为，，分析可得其为圆的上部分，结合直线与圆的位置关系即可．【详解】由题意可设直线，又曲线可化为，，作出直线l与曲线图象如图所示：设图中直线，，，的斜率分别为，，，，则，，，又直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得（舍去）或，要使两图象有两个不同的交点，则．故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知的边长分别为5，7，8，边长为8的边上的中线长为d.（1）求的最大内角的正弦值；（2）求d.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合余弦定理，同角三角函数的基本关系计算即可；（2）利用中线长，代入整理计算即可.【小问1详解】不妨设，，，则B是最大内角.由余弦定理可得，则.【小问2详解】.【点睛】.16.夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为．（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；（2）若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，．【解析】【分析】（1）根据题意利用二项分布求解即可得；（2）根据题意分别求其概率、列出分布列求出期望即可得．【小问1详解】令投中i次概率为，则；【小问2详解】X的可能取值为2，3，4，，，，故X的概率分布列为：X234P数学期望．17.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是中点（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在四棱锥中，由，是的中点，得，而，，平面，则平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在直角梯形中，，，又，，平面，则平面，又平面，于是，由，得，则，即，，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，则，，设是平面的法向量，则，令，得.由（1）知平面，即平面的一个法向量为，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为.（1）证明：；（2）已知点，求面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）结合题干条件，根据点差法即可证明；（2）分别求出，，再转化为，求导即可求出最值.【小问1详解】设，，所以所以，又，，所以.【小问2详解】设直线的方程为，即，联立，整理得，所以，解得，，，则.又点A到直线的距离为，所以，记，因为，所以，所以，．令，，则，令，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，即.19.对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，.（1）若是函数的“可移2相反数点”，求；（2）若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间；（3）设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）的单调递减区间为，（3）【解析】【分析】（1）根据新定义可得，解方程即可求解；（2）根据新定义可得，求出，利用二