2023年河北省中考数学试卷

2023年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1〜6小题各3分，7〜16小题各2分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.代数式-7x的意义可以是（）

A.・7与工的和B.・7与1的差C.・7与1的积D.・7与1的商

2.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于洪淇家南偏西70。的方向，则淇

淇家位于西柏坡的（）

北

4■►东：

A.南偏西700方向B.南偏东20°方向

C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向

3.化简乂3（己）2的结果是（）

A.xy6B.C.xVD.X2/

4.有7旅扑克牌如图所示，悔其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张,

5.四边形ABCO的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当AABC

为等腰三角形时，对角线AC的长为（）

A.2B.3C.4D.5

6.若女为任意整数，则（2A+3）2-4F的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

7.若a=V2»b=V7,则r^^二<）

A.2B.4C.V7D.V2

8.综合实践课上，嘉嘉画出△人/〃），利用尺规作图找一点C,使得四边形八/3CO为平行四

边形.(1)〜(3)是其作图过程.

(1)作8。的垂直平分线交BD于点0；

(2)连接40,在AO的延长线上截取。C=4O；

在嘉嘉的作法中，可宜接判定四边形A8CO为平行四边形的条件是()

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

9.如图，点Pl〜P8是。。的八等分点.若AP1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为4,b,

A.a<bB.a=b

C.a>bD.〃，6大小无法比较

10.光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46X

1012^,下列正确的是()

A.9.46X1012-10=9.46X1011

B.9.46X10l2-0.46=9X1012

C.9.46X1()12是一个12位数

D.9.46X1()12是一个13位数

II.如图，在RI/X4BC中，AB=4,点M是斜边8c的中点，以AM为边作正方形AMEF.若

S正方形AMEF=16,则S“5C=()

A.473B.8^3C.12D.16

12.如图1,一个2义2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其

主电视图和左由视图如图22,平台上至少还需再放这样的正方体()

,主视图左视图

正面

图1图2

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.在△人BC和△AEC'中，NB=NB'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C,=4,已知NC

=〃°,则NC'=()

A.30°B,n°

C.n或1X00-nD.30°或150°

14.如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M,A,C,N依次在同一直线上,

且4M=CM现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着轨道以大小

相同的速度匀速移动，其路线分别为M-A-O-C-N和N-C-B-A-M.若移动时间

为x,两个机器人之间距离为），.则），与工关系的图象大致是（）

15.如图，直线/1〃/2,菱形ABC。和等边△EFG在/1,/2之间，点4,尸分别在“，11上,

点B,。、E、G在同一直线上.若Na=50°,ZADE=146°,则N0=（）

A.42°B.43°C.44°D,45°

16.已知二次函数），=-，+m2r和丁二/一产（机是常数）的图象与大轴都有两个交点，且

这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为

（）

A.2B.62C.4D.2m2

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18〜19小题各4分，每空2分）

17.如图，已知点A（3,3）,B（3,1）,反比例函数y上@#0）图象的一支与线段A8

有交点，写出一个符合条件的々的整数值：'.

2n

3x+l7b

2x+la1

X

19.将三个相同的六角形喋母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六边形边长为2且各

有一个顶点在直线/上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2,

具中，中间正六边形的•边与直线/平行，和两边分别经过两侧正六边形的•个顶,也.则

图2中：

（1）Za=度；

（2）中间正六边形的中心到直线/的距离为（结果保留根号〕.

三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（9分）某惯性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则

不计入次数，需重新投.计分规则如下：

投中位置A区8区脱靶

一次计分（分）31-2

在某一局中，珍珍投中4区4次，B区2次.脱靶4次.

（1）求珍珍第一局的得分：

（2）第二局，珍珍投中A区〃次，3区3次,其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高

21.（9分）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示某同学

分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3,其面积分别为Si,52.

（1）请用含。的式子分别表示Si,S2,当〃=2时，求S1+S2的值;

（2）比较S与S2的大小，并说明理由.

若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改.工作

人员从收回的问卷中随机抽取了20份,如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制

的统计图.

(I)求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；

(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算

后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？

23.(1()分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1，〃长.嘉嘉在点4(6,1)处将沙包(看

成点)抛出，其运动路线为抛物线y=a(x-3)2+2的一部分，淇淇恰在点8(0,

c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：片」＞24x+c+l的一部

88

分.

(1)写出。的最高点坐标，并求小c的值；

(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到

24.(1()分)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50cm,

如图1和图2所示，MN为水面截线，G"为台面截线，MN//GH.

计算：在图1中，已知MN=48cm,作OCtMN于点

A

(1)求OC的长.

操作：将图I中的水槽沿G，向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当NANM=30°

时停止滚动.如图2.其中，半圆的中点为Q,G”与半圆的切点为E,连接0E交MN

于点

探究：在图2中.

(2)操作后水面高度下降了多少？—

(3)连接。。并延长交G"于点F,求线段EF与面的长度，并比较大小.

25.(12分)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(X,)，)移动到点(x+2,

y+1)称为一次甲方式；从点(x,y)移动到点(x+L)42)称为一次乙方式.

例点P从原点。出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按

乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,

3).

(1)设直线人经过上例中的点M、N,求人的解析式，并直接写出将人向上平移9个单

位长度得到的直.线/2的解析式；

(2)点P从原点0出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q

(x,y).其中，按甲方式移动了机次.

①用含小的式子分别表示x,户

②请说明：无论加怎样变化，点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为/3,在图中直

接画出/3的图象；

(3)在(1)和(2)中的直线八，12,/3上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,

=6.NA=90°.点M在边上，且DM=2.将线段K4绕点”顺时针旋转/(0

V/W180)到M4，，/A'AM的平分线M尸所在直线交折线4B-8C于点P,设点P在

该折线上运动的路径长为x(x>0),连接A'P.

(1)若点P在A8上，求证：A'P=AP；

(2)如图2,连接3。.

①求NCB。的度数，并直接写出当〃=180时，x的值；

②若点P到B。的距离为2,求tanNA'”尸的值；

(3)当0V%W8时，请直接写出点A'到直线4B的距离(用含％的式子表示).

图1图2图3

2023年河北省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1〜6小题各3分，7〜16小题各2分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.代数式-7x的意义可以是（）

A.-7与x的和B.与x的差C.-7与x的积D.-7与x的商

【分析】直接利用代数式的意义分析得出答案.

【解答】解：代数式-lx的意义可以是-7与x的积.

故诜：C.

【点评】此题主要考瓷了代数式，掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、

开方）把数或表示数的字母连接而成的式子是解题关键.

2.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇

淇家位于西柏坡的（）

北

东：

A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向

C.北偏西200方向D.北偏东70°方向

【分析】根据题意可得：N/\BC=70°,AB//CD,然后利用平行线的性质可得N/1BC=

ZDCB=70°,从而根据方向角的定义，即可解答.

【解答】解：如图：

北

东：

由题意得：NABC=70°,AB//CD,

AZABC=ZDCB=K}0,

・•・淇淇家位于西柏坡的北偏东70。方向,

故选：D.

【点评】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键.

3

3.化简83（匚）2的结果是（）

x

A.xy6B.孙5C.xVD.

【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式历乘法法则计算.

【解答】解：?（£•）2

=xy6,

故选:A.

【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关诞.

4.有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张,

则抽到的花色可能性最大的是（）

A•.（黑桃）B.•（红品心）C.（梅

花）D.（方块）

【分析】根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可.

【解答】解：•・•抽到黑桃的概率为抽到红心的概率为弓，抽到梅花的概率为a,抽

777

到方块的概率为2,

7

，抽到的花色可能性最大的是红心，

故选：B.

【点评】本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键.

5.四边形ABC。的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当AABC

为等腰三角形时，对角线AC的长为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解

决问题.

【解答】解：•••△A4C为等腰三角形，

：.AB=AC^AC=BC,

当4c=8C=4时，AD+CD=AC=4,此时不满足三角形三边关系定理，

当AC=A8=3时.满足三角形三边关系定理，

・・・AC=3.

故选：8.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三

边关系定理.

6.若k为任意整数，则⑵+3）2-止的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可.

【解答】解：（2&+3）2-4k2

=4必+12&+9-4必

=124+9

=3（软+3）,

・.球为任意整数,

・•・（2-3）2・4斤的值总能被3整除,

故选：B.

【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2H3）2-4^=3（4〃+3）是解此题的关

键.______

7.若a=V2，b=V7,则=<）

A.2B.4C.V7D.V2

【分析】把。、〃的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可.

【解答】解：•・•〃=祗，b=5

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键.

8.综合实践课上，嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C使得四边形ABCO为平行四

边形.（1）〜（3）是其作图过程.

（1）作3。的垂直平分线交BD于点。：

（2）连接A0,在A0的延长线上截取OC=AO；

在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形八BC。为平行四边形的条件是（）

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.

【解答】解：由作图得：DO=B（）,AO=CO,

・•・四边形4BCO为平行四边形，

故选：C.

【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

9.如图，点Pl〜P8是。。的八等分点.若△P1P307,四边形尸304P6P7的周长分别为“，1）,

则下列正确的是（）

A.a<bB.a=b

C.a>bD.4,6大小无法比较

【分析】利用三角形的三边关系，止多边形的性质证明即可.

【解答】解：连接尸4P5，P5P6.

•・•点Pl〜P8是OO的八等分点，

P3P4=P4P5=P5P6=P6P7，P1P7=P1P3=P4P6，

:.b-a=P3P4+P7P6-P1P3,

•；P5P4+P5P6>P4P6,

：・P3P4+P7P6>PlP3,

*.b-“>(),

:・a〈b,

故选：A.

【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

10.光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46X

10口也?，下列正确的是()

A.9.46X1()12-10=946X10”

B.9.46X10I2-0.46=9XI012

C.9.46X1()12是一个12位数

D.9.46X1()12是一个13位数

【分析】科学记数法的表示形式为〃X10〃的形式，其中〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：9.46XI()12回?=9460000000000k〃是一个13位数.

故选：D.

【点评】此题考杳科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10〃的形式，其

中IWMIVIO,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

11.如图，在RtZkABC中，A8=4,点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若

5正方形八“任=16，贝ISMBC=()

【分析】先根据正方形AMEF的面枳求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线

等「斜边的一半求出BC的长，最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角

形ABC的面积.

【解答】解：:四边形AWEF是正方形，

又〈S正方影AME尸=16,

・，・4序=]6,

・・・AM=4,

在中，点M是斜边8c的中点，

:、AM=yBO

乙

即BC=2AM=8,

在RlZXABC中，AB=4,_____

：♦AC=7BC2-AB2地2_42=473，

'SAABC]AB-Ac]x4X4V3二26

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式,

直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

是解题的关键.

12.如图1,一个2X2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其

主也视图和左邑视图如图邑2,平台上至少还需再放这样的正方体（）

,主视图左视图

正面

图1图2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据题意主视图和左视图即可得到结论.

【解答】解：平台上至少还需再放这样的正方体2个，

故选：B.

【点评】本题考查了由三视图判断几何体，正确地得出小正方体的个数是解题的关键.

13.在△ABC和△A9C'中，NB=NB=30°,AB=A'B>=6,AC=A'C=4,已知NC

=n°,则NC'—（）

A.30°B,n°

C.n或180°-nD.30°或150°

【分析】分两种情况讨论，当8c="C时，则△A8C@Z\A'B'C',得出NC'=

ZC=n°,当BCRB，C'时，如图，利用等腰三角形的性质求得NA'C”C=NC

=n°,从而求得NA'C"B'=180°-n°.

【解答】解：当BC=B'C时，B'C1CSSS）,

・•・"=ZC=/?°,

当BC#B'C时，如图，

VA,C'=A'C",

C"C=ZC=n,

ZA*C"B'=180°-n°,

：・NC'=n或180°-n,

角相等是解题的关键.——

14.如图是一种朝L道示意图，其中菽和菽均为半圆，点M,A,C,N依次在同一直线上,

H.AM=CN.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着轨道以大小

相同的速度匀速移动，其路线分别为M一八一O-C-V和N-C-若移动时间

为X,两个机器人之间距离为），.则y与X关系的图象大致是（）

【分析】设圆的半径为R,根据机器人移动时最开始的距离为/IM+CN+2R,之后同时到

达点A,C两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿4一。-C和C-B

-A移动时，此时两个机器人之间的距离是半径R,当机器人分别沿C-N和4fM移动

时，此时两个机器人之间的距离越来越大，据此得出结论即可.

【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，设圆的半径

为R,

，两个机器人最初的距离是AM+CN+2R,

•・•两个人机器人速度柜同，

,同时到达点A,C,

・•・两个机器人之间的距离），越来越小，故排除A、C；

当两个机器人分别沿A-O-C和C-B-A移动时，此时两个机器人之间的距离是半径R,

保持不变，

当机器人分别沿C-N和A-M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B；

故选：

【点评】本题考查动点函数图象，找到运动时的特殊点用排除法是关键.

15.如图，直线菱形ABC。和等边△EFG在/1,/2之间，点A,尸分别在人，11上，

点B,。、E、G在同一直线上.若Na=50°,ZADE=I46°,则N|3=（）

A.42°B.43°C.44°D.45°

【分析】由平角的定义求得NAO8=18（T-ZADE=34°,由外角定理求得NA"Z）=N

a-ZAD13=16°,根据平行线的性质得NG/F=N"/O=16°,进而求得N0=NEG〃

-ZG/F=44°.

・・・NAO8=180°-ZADE=34°,

Za=ZADB+ZAHD,

/.ZAHD=Za-ZADB=50°-34°,=16°,

V/I/7/2,

：・NGIF=NAHD=16",

VZEGF=Zp+ZG7F,

•••△EFG是等边三角形，

/.ZEGF=60°,

：.Zp=ZEGF-ZGIF=6^-16°=44°,

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，

根据相关定理确定角度之间的数量关系是解题关键.

16.已知二次函数)，=-*+〃&和y=»-阳2(机是常数)的图象与x轴都有两个交点，且

这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为

()

A.2B.nrC.4D.2m2

【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解.

【解答】解：令y=0,则-/+〃?2工=0和x2-〃?2=o,

/.x=0或x=m2或x=-m或x=m,

•.•这四个交点中每相斑两点间的距离都相等，

若〃?>0,则存=2〃?，

〃?=29

若mV0时，则m2=-2m,

:・m=-2.

2

•・•抛物线y=/-nr的对称轴x=0,抛物线)，=-』十〃A的对称轴尸一，

2

2

・•・这两个函数图象对称轴之间的距离===2.

2

故选：4.

【点评】本题考查二次函数图象有系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关

键是理解题意，学会构建方程解决问题.

二、填空题(本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18〜19小题各4分，每空2分)

17.如图，已知点A(3,3),8(3,1),反比例函数y：上(k#0)图象的一支与线段A5

X

有交点，写出一个符合条件的々的整数值：♦=4(答案不唯•).

【分析】把点A(3,3),B(3,1)代入)，=主即可得到k的值，从而得结论.

x

【解答】解：由图可知：k>0,

•・•反比例函数y=K(t>0)的图象与线段48有交点，且点A(3,3),B(3,1),

・••把B(3,1)代入丁=区得，2=3,

x

把A(3,3)代入y=与导，&=3X3=9,

，满足条件的k值的范围是3WLW9的整数，

故左=4(答案不唯一)，

故答案为：&=4(答案不唯一).

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解

题意是解题的关键.

18.根据表中的数据，写出a的值为1,〃的值为-2.

-2------

4^2”

3x+17b

2x+la1

x

【分析】将x=2代入丝土中计算即可求得。的值；将工=〃代入红土可得关于〃的分

xx

式方程，解得〃的值后代入3x+l中计算即可求得。的值.

【解答】解：当x=2时，

2x+l=2X2+1=5

-2~~2

即a=—；

2

当x=〃时，

2=1,

n

解得：〃=-1,

经检验，〃=-1是分式方程的解，

那么当x=-1时，

3.r+I=-3+1=-2,

即b=-2,

故答案为：1；-2.

2

【点评】本题考查代数式求值及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验.

19.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六边形边长为2且各

有一个顶点在直线/上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2,

其中，中间正六边形的一边与直线/平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则

图2中：

(1)Na=30度:

(2)中间正六边形的中心到直线/的距离为_^V3_(结果保留根号).

图1图2

【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；

（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直

线/的距离转化为求ON=OM+BE,再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别

求出OM,BE即可.

【解答】解：（1）作图如图所示，

•••多边形是正六边形，

・・・NAC8=60°,

•・・BC〃直线/,

，N/WC=90°,

Aa=30°；

故答案为：30°；

（2）取中间正六边形的中心为。，

作图如图所示，由题意得，AG//BF,AB//GF,BF1AB,

・•・四边形A3FG为矩形，

：.AB=GF,

•:NBAC=NFGH,NABC=NGFH=90°,

:•丛ABC"丛GFH（SAS）,

:,BC=FH,

在中，DE=\,PE=43,

由图I知AG=BF=2PE=2®0M=PE=孤,

BC=y(BF-CH)=V3-V

•3\JBAC号工

3

ABD=2-AB=V3-L

'：DE[x2=]

乙_

:.BE=BD+DE=V3,

A0N=0M+BE=2V3.

・•・中间正六边形的中心到直线/的距离为2爪,

图2

【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判

定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（9分）某惯性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则

不计入次数，需重新投.计分规则如下：

投中位置4区8区脱靶

一次计分（分）31-2

在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次.

（1）求珍珍第一局的得分；

（2）第二局，珍珍投中A区火次，B区3次,其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高

了13分，求左的值.

【分析】（1）根据题意列出算式可求解；

（2）由题意列出方程可求解.

【解答】解：（1）由题意可得：4X3+2X1+4X（-2）=6（分），

答：珍珍第一局的得分为6分；

（2）由题意可得：3A+3X1+（10-A-3）X（-2）=6+13,

解得：攵^^6.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键.

21.（9分）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示某同学

分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3,其面积分别为Si,S2.

（1）请用含。的式子分别表示Si,52,当。=2时，求SI+S2的值;

（2）比较Si与S2的大小，并说明理由.

【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；

（2）利用作差法比较即可.

【解答】解：（1）由医可知Si=（。+2）（。+1）=/+3。+2,52=（5«+1）Xl=5tz+1,

当。=2时，51+52=4+6+2+10+1=23；

（2）Si>52,

理由:VSi-S2=a2+3a+2-5a-\=（T-2a+\=（«-1）2,

又

・•・（a-1）2>0,

：.S\>S2.

【点评】本题考查了多项式乘多项式，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积.

22.（9分）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意

度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档.公司规定：

若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改.工作

人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制

的统计图.

（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；

（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算

后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分,求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？

再根据中位数、平均数确定是否

需要整改即可.

（2）根据重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分列出不等式，从而求出监

督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可.

【解答】解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第II个数据是4分，

，中位数为3.5分，

由统计图可得平均数为」X1小又2起"3坦X虫5i=3.5分,

20

・••客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，

・•・该部门不需要整改.

（2）监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有

3.5X20+X>3.55,

20+1

解得x>4.55,

••・满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档.

・••监督人员抽取的问卷所评分数为5分，

V4<5,

工加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入

这个数据后，中位数是4分，

・•・与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分.

【点评】本题考查条形统计图，中位数和平均数，一元一次不等式的应用，掌握求中位

数和平均数的方法是解题关键.

23.（10分）嘉嘉和洪淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了••道数学题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1机长.嘉嘉在点A（6,1）处将沙包（看

成点）抛出，其运动路线为抛物线（x-3）2+2的一部分，淇淇恰在点（0,

c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y二」乂24x+c+l的一部

88

分.

（1）写出。的最高点坐标，并求小C的值；

（2）若嘉嘉在工轴上方1机的高度上，且到点A水平距离不超过1〃?的范围内可以接到

沙包，求符合条件的〃的整数值.

【分析】(1)将点A坐标代入解析式可求小即可求解：

(2)根据点八的取值范围代入解析式可求解.

【解答】解：⑴・・•抛物线Ci：y=a(x-3)2+2,

・・・。的最高点坐标为：3,2),

•・,点A(6,1)在抛物线。：y=a(x-3)2+2±,

A1=a(6-3)2+2,

:.a=-A,

9

・•・抛物线Ci：y=-A(x-3)2+2,

9

当x=0时，c=1；

(2)•••嘉嘉在x轴上方l〃7的高度上，且到点A水平距离不超过山?的范围内可以接到

沙包，

，此时，点A的坐标范围是(5,1)〜(7,1),

当经过(5,1)时，1=-2X25+工^5+1+1,

88

解得：〃

5

当经过(7,1)时，1=--1x49+工•X7+1+1,

88

解得：”=31,

7

.•工W后招

57

•・•〃为整数，

・•・符合条件的〃的整数值为4和5.

【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是

解题的关键.

24.(10分)装有水的水槽放置在水平台面匕其横截面是以A8为直径的半圆O,AB=50cm,

如图1和图2所示，MN为水面截线，G"为台面截线，MN//GH.

计算：在图1中，已知MN=48。〃，作OC_LMN于点

C图I图2

(1)求OC的长.

操作：将图I中的水槽沿G“向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当//INM=30°

时停止滚动.如图2.其中，半圆的中点为Q,G，与半圆的切点为E,连接。E交MN

于点

探穷•在图2中

（2）.操作后水面高度下降了多少？—

（3）连接0Q并延长交G”于点F,求线段EF与血的长度，并比较大小.

【分析】（1）连接0M,利用垂径定理得出MC=_1MN=24S〃，由勾股定理计算即可得

2

出答案；

（2）由切线的性质证明0E1GH,进而得到0E1MN,利用锐角三角函数的定义求出

OD,再与（1）中0C相减即可得出答案：

（3）由半圆的中点为。得到/。。8=90°,得到NQO£=30°,分别求出线段痔与而

的长度，再相减比较即可.

【解答】解：（1）连接0例，

TO为圆心，0C_LMN于点C,MN=48c〃?，

：.MC=—MN=24cm,

2

•・・4B=50w,

.・.OM=LB=25(7〃，

2________________

在Rt△OMC中，0C=J。M2./c2=^25^-24^=7(cm)：

(2)・・・GH与半圆的切点为E,

/.0E±GH,

'：MN//(JH,

JOEIMN于点。，

VZAW=30°,ON=25cm,

1OR

・••OD=^ON=^-cif

，操作后水面高度下降高度为：苧一74CIT；

(3)VOELMN于点Z),NANM=30°,

AZDOB=60°,

•・•却收小点为Q,

：,AQ=QB，

；・NQOB=90°,

，/QOE=30°,

,EF=tanNQOE・OE=虫(cm),

3

面的长为30X71X25=2571(cw),

1806

・・256255W§-25冗^25(273-71)>0

3二66=

AEF>EQ.

【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，豆角三角形的性质，圆的切线的性质,

弧长公式和解直角三角形的知识，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键.

25.（12分）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x,y）移动到点Cv+2,

y+l）称为一次甲方式：从点（x,y）移动到点（x+1,计2）称为一次乙方式.

例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，盛终移动到点M（4,2）；若都按

乙方式，最终移动到点N（2,4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3,

3）.

（1）设直线人经过上例中的点M、N,求人的解析式，并直接写出将人向上平移9个单

位长度得到的直线/2的解析式；

（2）点。从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q

（x,y）.其中，按甲方式移动了机次.

①用含小的式子分别表示x,y；

②请说明：无论办怎样变化，点。都在一条确定的直线上.设这条直线为/3,在图中直

接画出/3的图象:

（3）在（1）和（2）中的直线/1,/2,/3上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为小

c之间的关系式.

【分析】（l）由待定系数法可求直线人的解析式；由平移的性质可求直线/2的解析式；

（2）①由题意可得：点P按照甲方式移动机次后得到的点的坐标为（2”加），再得出

点（2机，〃?），按照乙方式移动（10-加）次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；

②由①的结果可得直线h的解析式，进而可画出函数图象：

（3）由题意可得点A,点4,点。的坐标，由待定系数法可求直线A8的解析式，即可

求解.

【解答】解：（1）设/I的解析式为y=H+A

4k+b=2

由题意可得:

2k+b=4

k=-l

解得：1

b=6

的解析式为y=r+6,

将人向上平移9个单位长度得到的直线12的解析式为y=-x+15；

（2）•・•点P按照甲方式移动了〃?次，点。从原点。出发连续移动10次，

・••点2按照乙方式移动了（10-m）次，

・••点P按照甲方式移动〃?次后得到的点的坐标为（2那，〃?），

・••点（2m,〃?）按照乙方式移动（10-w）次后得到的点的横坐标为2〃?+10-加=〃汁10,

纵坐标为m+2（10-m）=20-in,

.*.x=/n+10,y=20-m；

②•・"+），=〃?+10+20-,«=30,

:.直线13的解析式为产r+30;

函数图象如图所示：

(3)•・•点A,B,C,横坐标依次为小b,c,

・••点A(a,-a+6),点4(〃，-b+15),点C(c,-c+30),

当-a+6#->I5W-c+30时，

设直线AB的解析式为y=〃?x+小

由题意可得：Wma+n=-a+6

mb+n=-b+15

9

m=-l+-

b-a

解得：

9a

n=6-

b-a

・•・直线43的解析式为），=（-1+旦）x+6-色

b-ab-a

•・•点A,点8,点C三点始终在一条直线上，

Ac（-1+—?-）+6-2-=-c+30,

b-ab-a

；・5a+3c=8〃，

2a+b+c=33.

平移的性质，掌握平移的性质和

一次函数的性质是解题的关键.

26.（13分）如图1和图2,平面上，四边形ABC。中，A8=8,BC=2dH，CD=\2,DA