全优课堂·数学·选择性必修第三册(人教A版)·课件 7.5 正态分布

第七章随机变量及其分布7.5正态分布学习目标素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量数学抽象2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征，了解正态分布的均值、方差及其含义直观想象、数学运算3.会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题数学建模、数学运算自学导引有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至____________，但取一点的概率为_____，我们称这类随机变量为连续型随机变量．整个实轴连续型随机变量0正态曲线(2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．(3)正态分布：①定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布；②记作：X～N(μ，σ2)；③特例：当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．若X～N(μ，σ2)，怎样表示图中阴影A，B的面积？提示：阴影A的面积P(X≤x)；阴影B的面积P(a≤X≤b).2．均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝_______.μσ2μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？提示：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；当μ取定值时，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X分布比较分散．取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____________；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取_________________中的值，这在统计学中称为3σ原则．0.6827正态变量在三个特殊区间内0.95450.9973[μ－3σ，μ＋3σ]P(μ－σ＜X≤μ＋σ)值的大小与μ与σ具体等于多少有关吗？提示：没有关系1．辨析记忆(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态密度函数的图象是一条钟形图象． (

)(2)正态曲线关于直线x＝σ对称． (

)(3)当正态参数σ较大时，说明随机变量的分布较集中． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝

(

)A．0.85 B．0.70C．0.35

D．0.15【答案】C【解析】P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35．课堂互动(1)(2024年衡水月考)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是

(

)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同题型1正态曲线(2)(2024年黄岛期中)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________．【答案】(1)BCD

(2)20

21．(1)以下是关于正态密度曲线性质的叙述：①曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴的上方；②曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；⑥σ越大，曲线越尖陡，σ越小，曲线越扁平．其中说法正确的有________(填序号)．【答案】(1)①④⑤

(2)μ2<μ1<μ3

σ1<σ3<σ2【解析】(1)直接根据正态密度曲线的性质作出判断，②③⑥不符合上述性质，故错误．(2)∵正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴μ2<μ1<μ3．∵σ的值越小图象越瘦高，∴σ1<σ3<σ2.(1)(2024年苏州检测)(多选)已知随机变量X服从正态分布N(1，4)，则下列说法中正确的有

(

)题型2正态分布下概率的计算(2)(2024年郑州期中)

已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X2－4X＋3≤0)＝0.6827，则P(X<－1)≈________．(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)【答案】(1)AB

(2)0.00135(2)X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X2－4X＋3≤0)≈0.6827，即P(1≤X≤3)≈0.6827，所以2－σ＝1，即σ＝1，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，即P(－1≤X≤5)≈0.9973，则P(－1≤X≤2)≈0.49865，所以P(X<－1)≈0.5－0.49865＝0.00135．利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解．2．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于

(

)A．0.4

B．0.3C．0.2

D．0.1(2)(2024年肇庆期中)

随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于

(

)A．3

B．4C．5

D．6【答案】(1)C

(2)B角度1求概率或频数题型3正态分布的应用数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近似服从正态分布，且均值为110，标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率．解：由题意可知分数X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，因为P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(X≤μ－σ)＋0.6827＝1，所以P(X≤μ－σ)＝0.15865，所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.15865＝0.84135．【例题迁移】

(改变问法)本例条件不变，若这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数．解：因为P(X≥130)＝P(X≥110＋20)＝P(X≥μ＋σ)，所以P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝0.6827＋2P(X≥μ＋σ)＝1．所以P(X≥μ＋σ)＝0.15865，即P(X≥130)＝0.15865．所以54×0.15865≈9(人)，即130分以上的人数约为9．角度2

3σ原则的实际应用(2)(2024年惠州期中)工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．【答案】(1)C

(2)3解答正态分布的实际应用题的关注点(1)方法：转化法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．(2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线与x轴之间的面积为1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．3．(2024年武汉期中)

某制造企业租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm)．97

97

98

102

105

107

108

109

113

114(1)计算平均值μ与标准差σ．(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？素养训练【答案】B2．(题型2)设随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，若P(ξ≤1)＝0.84，则P(－1<ξ≤0)等于

(

)A．0.16

B．0.32C．0.34

D．0.68【答案】C【答案】①③【解析】对于①，由正态分布密度曲线可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，①正确；对于②，由正态分布密度曲线可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，②错误；对于③，对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，所以P(X≤t)>P(Y≤t)，③正确．4．(题型3)(2023年泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为