全优课堂·数学·选择性必修第三册(人教A版)·课件 6.1 第1课时 计数原理及其简单应用

第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时计数原理及其简单应用学习目标素养要求1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理数学抽象2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义数学抽象3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题逻辑推理、数学运算自学导引分类加法计数原理m＋n定理中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？提示：能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事．1．推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．定义中各种方案之间相互独立，任何一类方案中任何一种方法也相互独立．分步乘法计数原理m×n定理中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？提示：不能，每一步中的每一种方法不能独立完成这件事．1．推广：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．2．定义中每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．1．辨析记忆(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．

(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．

(

)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．

(

)(4)在分步乘法计数原理中，若事情是分两步完成的，则其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有 (

)A．24种 B．9种C．3种 D．26种【答案】B3．(教材改编题)某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法种数为________.【答案】48【解析】从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法；从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为8×6＝48.课堂互动(1)(2024年中山期末)如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有

(

)A．9种

B．11种C．13种

D．15种题型1分类加法计数原理【答案】(1)C

(2)A【解析】(1)按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况；若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况；若脱落4个，则有(1，2，3，4)，共1种情况．综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)情况．(2)因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1.故所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).【答案】D【解析】因为双曲线的焦点在x轴上，所以m＞0，n＞0.当m＝1时，n＝1，2，3，4；当m＝2时，n＝1，2，3，4；当m＝3时，n＝1，2，3，4；当m＝4时，n＝1，2，3，4.故所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个).利用分类加法计数原理计数的解题流程提醒：确定分类标准时，一方面要做到分类“不重不漏”，另一方面要确保每一类都能独立地完成这件事．1．(1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)的个数为 (

)A．8

B．10C．12

D．15(2)(2024年梅州期中)用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．【答案】(1)D【解析】按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，3，4，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，3，4，共构成4个有序自然数对；…；x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．故选D．(2)解：分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3210，共1个；第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321，4320，4310，4210，共4个；第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10个．由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15个“渐降数”．(1)(2024年肇庆期末)求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如12＝31×22，12的正整数因数只需分别从{30，31}，{20，21，22}中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为

(

)A．12

B．15C．16

D．18题型2分步乘法计数原理(2)(2024年济南检测)如图，已知四棱锥O焕ABCD，现有质点Q从O点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到O点的不同路径的种数为________.【答案】(1)A

(2)8【解析】(1)因为500＝22×53，由题意可知500的正整数因数只需分别从{20，21，22}，{50，51，52，53}中各选一个元素相乘即可，所以500的正整数因数的个数为3×4＝12.故选A．(2)质点Q第一次移动到A，B，C，D四个顶点中的一个，共4种不同的移动方法，不妨设先移动到顶点A；第二次移动到B，D两个顶点中的一个，共2种不同的移动方法；第三次移动到顶点O即可，即该质点经过3次移动后返回到O点的不同路径的种数为4×2＝8.利用分步乘法计数原理的注意事项(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需要n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．2．(1)(2024年衡水质检)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法数有 (

)A．43种

B．34种C．7种

D．12种(2)某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？【答案】(1)B【解析】要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法．(2)解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：第一步，配一个荤菜有6种选择；第二步，配一个素菜有5种选择；第三步，配一个汤有3种选择．根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90(种)不同的套餐．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？题型3两个计数原理的综合问题解：(1)分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．(2)分两步：第一步，小明先就坐，从东西两面共14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西两面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法．利用两个计数原理的解题策略(1)在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．3．(1)(2024年安阳模拟)为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有

(

)A．15种

B．16种C．17种

D．18种(2)(2024年菏泽期中)如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为

(

)A．3

B．6C．7

D．8【答案】(1)B

(2)D【解析】(1)甲高校与用人单位对接的方案有3＋1＝4种，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4＝16种．故选B．(2)由题图可知，从甲村直接到到丙村的走法有2种，从甲村到乙村再到丙村的走法有3×2＝6种，所以从甲村到丙村的走法共有6＋2＝8种．故选D．素养训练1．(题型1)从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为

(

)A．6

B．5C．3

D．2【答案】B2．(题型2)现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为 (

)A．7

B．64C．12

D．81【答案】C3．(题型2)(2023年深圳期末)广东省普通高考实行“3＋1＋2”考试模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科，“2”为再选科目，考生可在化学、生物学、思想政治、地理4个科目中选择2科．参加高考的考生选考科目的不同选法理论上有________种．【答案】12【解析】分两步，