2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定练习含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-1.2.1命题与量词1最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确运用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确运用全称量词对存在量词命题进行否定.学问点一命题1．用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p.(2)四种命题间的关系学问点二全称量词和全称量词命题全称量词全部的、随意一个、一切、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中随意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”学问点三存在量词和存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)”eq\x(状元随笔)全称量词命题与存在量词命题的区分(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内全部对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．学问点四全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．eq\x(状元随笔)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[基础自测]1．下列命题中全称量词命题的个数是()①随意一个自然数都是正整数；②全部的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．答案：D2．下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0B．1C．2D．3解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．答案：D3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对随意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对随意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对随意实数x，都有x≤1”．答案：C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”题型一全称量词命题与存在量词命题的推断与其真假[经典例题]例1推断下列命题哪些是全称量词命题，并推断其真假．(1)对随意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对随意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，须要推断全部的状况都成立；假如有一种状况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种状况成马上可；假如找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并推断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对随意实数x，ax>0；(2)对随意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2；(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.解析：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题．(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)对随意x∈R，x2＋1>0.∴命题(3)是假命题．eq\x(状元随笔)推断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是推断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要依据命题含义推断形式．题型二含有一个量词的命题的否定[教材P29例2]例2写出下列命题的否定，并推断所得命题的真假：(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图像经过原点；(2)q：∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】(1)綈p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图像不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图像经过原点，所以綈p是假命题．(2)綈q：∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因为x＝0时，x2＝0＜9，所以綈q是真命题.先把命题否定，再推断真假．教材反思全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．跟踪训练2(1)命题“对于随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．对随意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是()A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0解析：(1)∵命题“对于随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否定是对应的存在量词命题，∴否定命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故选D.(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故解除A；由命题的否定要否定结论，故解除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故解除B.答案：(1)D(2)D∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，綈p(x)．∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)．课时作业5一、选择题1．下列语句不是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于随意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．答案：C2．推断下列命题是存在量词命题的个数()①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．答案：B3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为()A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.答案：C4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.答案：D二、填空题5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案：①③②④6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对随意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者依据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再依据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案：③④7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．答案：∃x∈R，|x|＋x2<0三、解答题8．用量词符号表述下列命题：(1)随意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对随意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．9．推断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的梯形对角线相等；(3)对随意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，图像是直线；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直．解析：(1)可以改写为“全部的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“随意”，故是全称量词命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称量词命题．[尖子生题库]10．推断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；(2)∃x，y∈Z,3x－