2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系第2课时零点的存在性及其近似值的求法教师用书新人教B版必修第一册

PAGE1-第2课时零点的存在性及其近似值的求法考点学习目标核心素养函数零点存在定理会用函数零点存在定理推断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会依据函数零点的状况求参数数学抽象、数学运算、直观想象二分法通过详细实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值数学抽象、数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P115－P118的内容，思索以下问题：(1)函数零点存在定理的内容是什么？(2)二分法的概念是什么？(3)用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？1.函数零点存在定理假如函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是连绵不断的，并且f(a)·f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.■名师点拨定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图像是连绵不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.2.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满意时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连绵不断的，且f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：第一步检查|b－a|＜2ε是否成立，假如成立，取x1＝eq\f(a＋b,2)，计算结束；假如不成立，转到其次步.其次步计算区间[a，b]的中点eq\f(a＋b,2)对应的函数值，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝0，取x1＝eq\f(a＋b,2)，计算结束；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≠0，转到第三步.第三步若f(a)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＜0，将eq\f(a＋b,2)的值赋给beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(用\f(a＋b,2)→b表示，下同))，回到第一步；否则必有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))f(b)＜0，将eq\f(a＋b,2)的值赋给a，回到第一步.■名师点拨二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断靠近的方法，找到零点旁边足够小的区间，依据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则肯定有f(a)·f(b)＜0.()(2)全部函数的零点都可以用二分法来求.()(3)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.()答案：(1)×(2)×(3)×视察下列函数的图像，推断能用二分法求其零点的是()答案：A函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是()A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)解析：选D.因为f(－1)＝－1＋3－3＝－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(1)＝1－3－3＝－5＜0，f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(x)＝x3－3x－3的零点在区间(2，3)内.用二分法探讨函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈，其次次应计算.答案：(0，0.5)f(0.25)推断函数零点个数或所在区间(1)已知函数y＝f(x)的图像是连绵不断的一条曲线，有如下的对应值表：x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88则下列说法正确的是()A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)【解析】(1)由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然f(1)·f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点.(2)由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，故有f(1)f(2)＜0，依据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.【答案】(1)B(2)Beq\a\vs4\al()(1)推断函数零点所在区间的三个步骤①代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值.②推断：把所得的函数值相乘，并进行符号推断.③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.(2)推断函数存在零点的2种方法①方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能推断解的个数，可通过方程的解来推断函数是否存在零点或判定零点的个数.②图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，依据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数.1.在下列区间上，方程x3＝3x－1无实数解的是()A.(－2，－1) B.(－1，0)C.(0，1) D.(1，2)解析：选B.令f(x)＝x3－3x＋1，易知f(x)在R上连续，f(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，f(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，且f(0)＝0－0＋1＝1＞0.f(1)＝1－3＋1＝－1＜0，f(2)＝8－6＋1＝3＞0.故f(x)在(－2，－1)，(0，1)，(1，2)上有零点，故方程x3－3x＋1＝0在区间(－1，0)上没有零点.故选B.2.对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)上()A.肯定有零点B.肯定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点解析：选C.(1)当Δ＝m2－4n＜0时，方程x2＋mx＋n＝0无实根，即函数f(x)＝x2＋mx＋n在(a，b)上没有零点.(2)当Δ＝m2－4n＝0，且a＜－eq\f(m,2)＜b，方程x2＋mx＋n＝0在(a，b)上有两个相等的实根，即x1＝x2＝－eq\f(m,2)，此时函数f(x)＝x2＋mx＋n在(a，b)上有一个零点.(3)当Δ＝m2－4n＞0，且a＜－eq\f(m,2)＜b，f(a)＞0，f(b)＞0时，方程x2＋mx＋n＝0在(a，b)上有两个不等实根，即函数f(x)＝x2＋mx＋n在(a，b)上有两个零点.依据函数零点求参数(1)已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是.(2)函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则实数a的取值范围为Ｗ.【解析】(1)函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点.分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示.由图易知，当a>1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞).(2)f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(2)＋1.若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则f(x)＝0在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有解，当－eq\f(1,2)≤x<0或0<x≤eq\f(1,2)时，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)≤0.所以实数a的取值范围为(－∞，0].【答案】(1)(1，＋∞)(2)(－∞，0]eq\a\vs4\al()依据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)干脆法：干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分别参数法：先将参数分别，然后转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满意下列条件的a的取值范围.(1)函数f(x)没有零点；(2)函数f(x)有两个零点；(3)函数f(x)有三个零点；(4)函数f(x)有四个零点.解：函数g(x)＝|x2－2x|的图像如图所示.(1)函数f(x)没有零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像没有交点，视察图像可知，此时a＜0.(2)函数f(x)有两个零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像有两个交点，视察图像可知此时a＝0或a＞1.(3)函数f(x)有三个零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像有三个交点，由图像易知a＝1.(4)函数f(x)有四个零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像有四个交点，由图像易知0＜a＜1.利用二分法求方程的近似解用二分法求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度为0.1).【解】设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又f(x)在(2，3)内递增，所以在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2，3)的中点x1＝2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以x0∈(2，2.5).再取区间(2，2.5)的中点x2＝2.25，因为f(2.25)＝－0.4375＜0，所以x0∈(2.25，2.5).同理可得，x0∈(2.375，2.5).因为|2.375－2.5|＝0.125＜0.2，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为eq\f(2.375＋2.5,2)＝2.4375.eq\a\vs4\al()用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采纳估计值的方法完成).(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.已知函数f(x)＝2x3－1(x∈R).(1)证明：函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；(2)求出f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似解.(精确度为0.1)解：(1)证明：函数f(x)＝2x3－1在区间[0.5，1]上连续.且f(1)＝2－1＝1＞0，f(0.5)＝eq\f(1,4)－1＜0，所以函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；(2)由(1)知f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3－1＝0在(0.5，1)内有实数根.如此接着下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0.5，1)0.75f(0.5)＜0f(1)＞0f(0.75)＜0(0.75，1)0.875f(0.75)＜0f(1)＞0f(0.875)＞0因为|0.75－0.875|＝0.125＜0.2，所以方程2x3－1＝0的一个近似解可取为eq\f(0.75＋0.875,2)＝0.8125.1.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连绵不断的，且有如下对应值表：x123f(x)6.12.9－3.5那么函数f(x)肯定存在零点的区间是()A.(－∞，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，＋∞)解析：选C.由于f(2)＞0，f(3)＜0，依据函数零点的存在定理可知函数f(x)在区间(2，3)内肯定有零点，其他区间不好推断.故选C.2.若f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间[1，1.5]内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.438)≈0.165f(1.4065)≈－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为(精确度为0.1)()A.1.2 B.1.3C.1.4 D.1.5解析：选C.由题中表知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个根在(1.4065，1.438)之间，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为(精确度为0.1)1.4；则其近似根为1.4.故选C.3.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列推断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根.其中正确的有.(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，则f(x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确.答案：①②③4.若关于x的方程eq\f(1,1＋|x|)－x2＋a＝0有两个不等的实数解，则a的取值范围是Ｗ.解析：作出函数y＝eq\f(1,1＋|x|)的图像(可以先作出函数y＝eq\f(1,1＋x)(x＞0)的图像，然后再关于y轴作翻折变换得到函数y＝eq\f(1,1＋|x|)的图像).函数y＝x2－a是一个二次函数，画出图像如图所示.不难发觉当－a＜1时，两个函数图像有两个交点，从而a的取值范围是(－1，＋∞).答案：(－1，＋∞)[A基础达标]1.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)不肯定存在零点的是()x1235f(x)3－120A.(1，2) B.[1，3]C.[2，5) D.(3，5)解析：选D.由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)·f(2)＜0，可知函数f(x)在(1，2)上肯定有零点；则函数f(x)在[1，3]上肯定有零点；由f(2)·f(3)＜0，可知函数f(x)在(2，3)上肯定有零点；则函数f(x)在[2，5)上肯定有零点；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不肯定有零点.所以函数f(x)不肯定存在零点的是(3，5).故选D.2.函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是()A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)解析：选D.因为函数f(x)＝x3－9在R上单调递增，f(2)＝8－9＝－1＜0，f(3)＝27－9＝18＞0，所以依据零点存在定理，可得函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是(2，3).故选D.3.已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是()A.9 B.8C.7 D.6解析：选A.f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则x2＋6x＋c＝0，有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9，故选A.4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：x121.51.6251.751.8751.8125f(x)－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为()A.1.6 B.1.7C.1.8 D.1.9解析：选C.由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在(1.75，1.875)之间：结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(精确度为0.1)1.8，故选C.5.(2024·岳阳一模)对随意实数a、b定义运算⊗：a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1,a，a－b＜1))，设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有三个零点，则实数k的取值范围是()A.(－1，3] B.[－3，1]C.[－1，2) D.[－2，1)解析：选D.由题意可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤－2或x≥3,x2－1，－2＜x＜3))，作出f(x)的函数图像，如图所示：因为y＝f(x)＋k有三个零点，所以－1＜－k≤2，即－2≤k＜1.故选D.6.函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是.解析：函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.答案：(－∞，0]7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有个零点，这几个零点的和等于.解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：308.若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]内至少有一个零点，则实数a的取值范围为Ｗ.解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]内至少有一个零点，且f(0)＝2＞0，结合函数f(x)的图像(图略)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤\f(2a,2)≤4，,Δ＝4a2－8≥0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)＞4，,f(4)≤0，))解得eq\r(2)≤a≤4或a＞4，即a≥eq\r(2).所以实数a的取值范围为[eq\r(2)，＋∞).答案：[eq\r(2)，＋∞)9.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1.(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)运用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内.解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－eq\f(1,3)<0，所以f(0)·f(2)<0，由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解.(2)取x1＝eq\f(1,2)(0＋2)＝1，得f(1)＝eq\f(1,3)>0，由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2).再取x2＝eq\f(1,2)(1＋2)＝eq\f(3,2)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,8)<0，所以f(1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).再取x3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)))＝eq\f(5,4)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝eq\f(17,192)>0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).综上所述，得所求的实数解x0在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))内.10.若方程x2－2kx＋k2－1＝0有两个不等实数根介于－2与4之间，求k的范围.解：令f(x)＝x2－2kx＋k2－1，则二次函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝k，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4k2－4(k2－1)＞0,－2＜k＜4,f(－2)＝3＋4k＋k2＞0,f(4)＝15－8k＋k2＞0))，解得－1＜k＜3，即要求的k的范围是(－1，3).[B实力提升]11.(2024·太原期末)已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)＜0，运用二分法求函数零点，要求近似值精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为()A.2 B.3C.4 D.5解析：选C.设须计算n次，则n满意eq\f(1,2n)＜0.1，即2n＞10.故计算4次就可满意要求，所以将区间(1，2)等分的次数为4次.故选C.12.(2024·洛阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|－3，x≤3,－(x－3)2，x＞3))，函数g(x)＝b－f(3－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则实数b的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(11,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,4))) D.(－3，0)解析：选B.因为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|－3，x≤3,－(x－3)2，x＞3))，所以f(3－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3－x|－3，x≥0,－x2，x＜0))，由y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(3－x)－b＝0.得b＝f(x)＋f(3－x)，令h(x)＝f(x)＋f(3－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x－3，x＜0,－3，0≤x≤3,－x2＋7x－15，x＞3))，函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即y＝b与h(x)＝f(x)＋f(3－x)的图像有4个不同的交点，作出函数图形如图