三角函数专题复习07解三角形中的内切圆、外接圆问题 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/207解三角形中的内切圆、外接圆问题【题型解读】【题型一三角形中的外接圆问题】1.(2022·全国·高三课时练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A＝eq\f(π,3),b＝1,△ABC的外接圆半径为1,则△ABC的面积S＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R,得a＝eq\r(3),sinB＝eq\f(1,2),∵a>b,∴A>B,∴B＝eq\f(π,6),C＝eq\f(π,2),∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2).2.(2022·全国·高三专题练习)已知外接圆直径是,角,,所对的边分别为,,,满足.(1)求角;(2)求的周长的最大值.【答案】(1);(2)【解析】解:(1)由已知,由正弦定理,得,由正弦定理角化边得,则,又所以;(2)的周长,,,,,即的周长的最大值为.3.(2022·全国高三单元测试)已知三角形两边长分别为1和eq\r(3),第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径为________.【答案】1【解析】如图,AB＝1,BD＝1,BC＝eq\r(3),设AD＝DC＝x,在△ABD中,cos∠ADB＝eq\f(x2＋1－1,2x)＝eq\f(x,2),在△BDC中,cos∠BDC＝eq\f(x2＋1－3,2x)＝eq\f(x2－2,2x),∵∠ADB与∠BDC互补,∴cos∠ADB＝－cos∠BDC,∴eq\f(x,2)＝－eq\f(x2－2,2x),∴x＝1,∴∠A＝60°,由eq\f(\r(3),sin60°)＝2R,得R＝1.4.(2022·合肥百花中学高三期末)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2b﹣c)cosA＝acosC.(1)求角A;(2)若△ABC的外接圆面积为π,求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)A(2).【解析】(1)∵(2b﹣c)cosA＝acosC,∴由正弦定理可得:(2sinB﹣sinC)cosA＝sinAcosC,可得:2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB,∵sinB≠0,∴cosA,∵0＜A＜π,∴A,(2)∵△ABC的外接圆面积为π,∴△ABC的外接圆半径为1,∵,∴a,∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA,可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc,∴bc≤3,当且仅当b＝c等号成立,∴S△ABCbcsinA,当且仅当b＝c等号成立,∴S△ABC的最大值为.5.(2022·全国高三课时练习)在外接圆半径为eq\f(1,2)的△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC,则b＋c的最大值是()A.1B.eq\f(1,2)C.3D.eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c,即a2＝b2＋c2＋bc,又a2＝b2＋c2－2bccosA,所以cosA＝－eq\f(1,2),A＝120°.因为△ABC外接圆半径为eq\f(1,2),所以由正弦定理得b＋c＝sinB·2R＋sinC·2R＝sinB＋sin(60°－B)＝eq\f(1,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝sin(B＋60°),故当B＝30°时,b＋c取得最大值1.6.(2022·山东潍坊高三期末)在①的外接圆面积为②的面积为,③的周长为这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并给出解答.问题:在中,内角,,的对边分别为,,,是边上一点已知,,,若___________,求的长.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析;.【解析】解:因为,所以解得或舍去,所以在中.因为所以所以由余弦定理得又所以即,所以为等边三角形.因为所以在中,由余弦定理得选择条件①:由的外接圆面积为得所以所以故.选择条件②:由的面积为,得的面积为,所以解得故.选择条件③:由的周长为,得所以故.【题型二解三角形中的内切圆问题】1.(2022·广西河池·高三期末)已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为________.【答案】eq\f(27π,5)【解析】不妨设a＝6,b＝c＝12,由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(122＋122－62,2×12×12)＝eq\f(7,8),∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2)＝eq\f(\r(15),8).由eq\f(1,2)(a＋b＋c)r＝eq\f(1,2)bcsinA,得r＝eq\f(3\r(15),5).∴S内切圆＝πr2＝eq\f(27π,5).2.(2022·山东济南·高三期末)已知,,分别为三个内角,,的对边,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,且,求的内切圆半径.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)因为,所以,因为,所以,所以,即,因为,所以,所以,因为,所以,得;(Ⅱ)因为,,,由余弦定理可得,所以,则,所以,设的内切圆半径为,则,所以.3.(2022·河南·高三期中)在中,角所对的边分别为,且.(1)求角;(2)若,则当的面积最大时,求的内切圆半径.【答案】(1);(2)【解析】(1)由得,,由正弦定理得,,所以,又,,所以,又,所以.(2)由余弦定理得,整理得,所以,当且仅当时取等号.所以,,所以当且仅当时,时的面积的最大值为.设的内切圆半径为,则,所以.4.(2022·甘肃兰州·高三期中).已知中,角所对的边分别是,满足.(1)求证:;(2)若,且,求的内切圆半径.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:由得,即,即又,或(舍去)(2)由,得