人教版八年级数学下册第十九章函数导学案教学设计

第十九章函数

教学备注19.1函数

19.1.1变量与函数

第1课时常量与变量

学习目标：1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.

2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

重点：能够区分同一个问题中的常量与变量.

难点：用式子表示变量间的关系.

学生在课前

完成自主学A）国主学第

习部分7

一、知识链接

1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），

如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量":、、.

同时用“数”来表明“量”的大小.

2.写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：.

二、新知预习

1.小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为o.2元/支，总价y元随铅笔支数x

的变化而变化，在这个问题中，变量是.常量是一

2.圆的面积S随着半径7•的变化而变化，已知它们的关系为:错误！未找到引用源。

5=》产，在这个问题中，常量是,变量是.

3.自主归纳：

变量：在一个变化过程中，数值________的量为变量.

常量：在一个变化过程中，数值的量为常量.

三、自学自测

1.指出下列关系式中的常量和变量.

（1）长方形的长为2,长方形面积S与宽x之间的关系S=2x；

（2）一批香蕉每千克6元，则总金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为y=6x.

2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的

关系式，并指出其中的变量和常量.

四、我的疑惑

教学备注

配套PPT讲授

/课堂探究

1.情景引入

一、要点探究

(见幻灯片3)

探究点1:常量与变量

2.探究点1新

问题1：一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.行驶时间为t

知讲授

小时.

(见幻灯片

(1)请同学们根据题意填写下表：

7-16)

t/小时12345

S/千米

(2)试用含t的式子表示s,则s=；

(3)在以上这个过程中，变化的量有,不变化的量有.

问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场

售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元.

(1)请同学们根据题意填写：

早场电影的票房收入为元；

日场电影的票房收入为元；

晚场电影的票房收入为元；

(2)在以上这个过程中，变化的量是不变化的量是

(3)试用含x的式子表示y,则y=；这个问题反映了票房收入—随售票

张数的变化过程.

问题3：你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中，当圆的半径

r分别为10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别为多少？

(1)填空：

当圆的半径为10cm时,圆的面积为________cm2；

当圆的半径为20cm时，圆的面积为________cm2；

当圆的半径为30cm时,圆的面积为________cm2；

当圆的半径为r时，圆的面积5=；

(2)在以上这个过程中，变化的量是,不变化的量是.

要点归纳：

在一个变化过程中，数值发生变化的量为,数值始终不变的量为.

典例精析

例1指出下列事件过程中的常量与变量

(1)某水果店橘子的单价为5元/千克,买a千橘子的总价为m元,其中常量是,

变量是;

⑵周长C与圆的半径r之间的关系式是C=2加，其中常量是,变量是

⑶三角形的一边长5cm,它的面积SSn?)与这边上的高h(cm)的关系式y=■1//

中，其中常量是,变量是.

变式题

教学备注

阅读并完成下面一段叙述：

配套PPT讲授

(1)某人持续以a米/分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是，变量是

(2)s米的路程不同的人以不同的速度a米/分各需跑的时间为t分，其中常量是

，变量是.

(3)根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：.

方法总结:区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是

否可以取不同的值.

3.探究点2新

知讲授

探究点2：确定两个变量之间的关系

(见幻灯片

例2.弹簧的长度与所挂重物有关.如果弹簧原长为10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,

17-18)试填下表：

重物的质量(kg)12345

弹簧长度(cm)

怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度L(cm)?

变式题：如果弹簧原长为12cm,每1kg重物使弹簧压缩0.5cm,则用含重物质量m(kg)

的式子表示受力后的弹簧长度L(cm)为.

针对训练

写出下列问题中的关系式，并指出变量和常量：

(1)某市的自来水价为4元/吨.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户

月用水量为x吨，月应交水费为y元.

(2)某地手机通话费为0.2元/分.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手

机通话时间为t分钟，话费卡中的余额为w元.

(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r,圆周长为C,圆周率(圆

周长与直径的比)为九

(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，

第二个抽屉放入y本.

二、课堂小结

常量与变常量在一个变化过程中，数值_________的量为变量

4.课堂小结量的概念变量在一个变化过程中，数值_________的量为变量

易错提醒在不同的条件下，常量与变量是相对的

〉」堂检

4

i.若球体体积为y,半径为R,则丫=上万",其中变量是、,常量是

3教学备注

配套PPT讲授

2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价。（元）的关系式是,

其中变量是,常量是.

3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与5.当堂检测

行使时间t（小时）的关系是_其中的常量是_变量是_（见幻灯片

19-21）

4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单

位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是.

X5080100150

y25405075

5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.

完成上表，并写出瓶子总数y与层数x之间的关系式.

\J

第十九章函数

教学备注19.1函数

19.1.1变量与函数

第2课时函数

学习目标：1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系.

2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，会根据函数解析式求函数值.

3.会确定自变量的取值范围.

重点：掌握函数的概念，能根据简单的实际问题写出函数解析式.

难点：会确定自变量的取值范围.

学生在课前----------"自主学习M

完成自主学

习部分

一、知识链接

1.什么叫常量、变量?

2.代数式的意义是什么？如何求一个代数式的值?

二、新知预习

1.汽车离开A站5千米以后，以40千米/时的平均速度行驶了t小时,汽车离开A站所

走的路程为s千米,请先填写下表：

t/时12345

s/千米

观察填出的表格,会发现:每当行驶时间t取定一个值，汽车离开A站所走的路程s就

2.李老师用100元购买7元/件的某种商品，观察他剩余的钱y(元)与购买这种商品的数

量x(xW14)之间的关系：

当x=5时，y=:当x=12时，y=.

从中可以看出：每当李老师购买这种商品数量x(xW14)取定一个值时，他剩余的钱y(元)

就.

3.自主归纳：

(1)函数的概念：在某个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确

定的值，y都有与它对应，那么我们就说是自变量，是

的函数.

(2)函数值：如果当x=a时y=b,那么叫做当自变量的值为一时的函数值.

三、自学自测

L下列变量间具有函数关系的是：.(填序号)

①正方形的周长与边长；②等腰三角形的底边长与面积；③电费单价一定，居民某天的

电费与用电量；④北京某天的气温与时间.

2.下列式子中：y是x的函数的有.(填序号)

@y=Ix|；®x+l=|y|；©y=x2-2；@y=y/x-l.教学备注

配套讲授

3.已知函数y=2x2-l.PPT

(1)求出当x=2时y的值；(2)求出当y=3时x的值.

1.情景引入

(见幻灯片3)

四、我的疑惑

课堂探究

二、要点探究

探究点1：函数的概念

2.探究点1新

问题1：填表并回答问题:

知讲授

X14916

(见幻灯片

y=±2x4-14)

(1)对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？

(2)y是x的函数吗？为什么？

问题2：如何判断两个变量间具有函数关系？

典例精析

例1.下列关于变量x,y的关系式：y=2x+3y=x2+3y=2|x|；④y=±五；⑤

y2-3x=10,其中表示y是x的函数关系的是.

方法总结:判断一个变量是否是另一个变量的函数,关键是看当一个变量确定时，另一

个变量有唯一确定的值与它对应.

例2.已知函数丫=士匚.

x+l

⑴求当x=2,3,-3时，函数的值；

⑵求当x取什么值时，函数的值为0.

教学备注

配套PPT讲授

方法总结:求函数值，直接把自变量的值带入函数关系式中计算即可；求自变量的值,

需把函数值带入函数关系式中，得到关于自变量的方程，然后解方程.

探究点2：自变量的取值范围

3.探究点2新

问题3：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：

知讲授

(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t(单位：h),行驶的路程

(见幻灯片

为s(单位：km)；

15-20)

(2)多边形的边数为n,内角和的度数为y.

问题4：问题3(1)中，t取-2有实际意义吗？(2)中，n取2有意义吗？

例3.下列函数中自变量x的取值范围是什么？

(1)y=3x+l；(2)y=；(3)y—y/x—5；(4)y=，2x+l.

方法总结：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析

式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.

二、课堂小结

函数的函数一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y,

4.课堂小结概念并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它

对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

函数如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函

值数值.

自变量的取值范1.使函数解析式有意义；2.符合实际意义.

围

J〉后堂检

1.下列说法中，不正确的是()

教学备注

A.函数不是数，而是一种关系B.多边形的内角和是边数的函数配套PPT讲授

5.当堂检测

C.一天中时间是温度的函数D.一天中温度是时间的函数(见幻灯片

21-25)

2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是()

A.y=B.>'=—

x

C.|y|=x(x*O)D.y=18x

3.设路程为s,时间为t,速度为v,当v=60时，路程和时间的关系式为

这个关系式中，是常量，是变量，是的函数.

4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，lh流完，则油箱中剩余油量Q(kg)与流

出时间t(min)之间的函数关系式是,自变量t的取值范围是.

5.求下列函数中自变量x的取值范围：

(l)y=x2-x-2_(2)y=—3-(3)y=Jx+3.(4)y=77+1+-^-

,4x+8.11-x

6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过

3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x(公里)

(x为整数)，相对应的收费为y(元).

(1)请分别写出当0<xW3和x>3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和

x=6时对应的y值；

(2)当OVxW3和x>3时，y都是x的函数吗？为什么？

\7

第十九章函数

教学备注19.1函数

19.1.2函数的图象

第1课时函数的图象

学习目标：1.理解函数的图象的概念；

2.掌握画函数图象的一般步骤，能画出一些简单的函数图象;

3.能根据所给函数图象读出一些有用的信息.

重点：函数图像的意义及画法.

难点：能根据所给函数图象读出一些有用的信息.

学生在课前

完成自主学自主学习

习部分

一、知识链接

在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对来表示.即坐标平面内的

与有序数对是的.

二、新知预习

1.(1)正方形的面积S与边长x的函数解析式为,其中自变量x的取

值范围是.

⑵根答S与x中函数解，斤式填耳下表：

~~I0.5I~1~~1.5~2~I2.5I~3~3.5

(3)根据S与x的每组对应值在平面坐标系中描出点(x,S),并用光滑的曲线将这些点

连起来.

2.知识要点：

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么

—坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的.

三、自学自测

试画出函数y=2x的图象，并判断点(2,1),(1,2),(-2,4),(-3.5,-7)是否在该函数图象上.

教学备注

X配套PPT讲授

y

1.情景引入

（见幻灯片3）

四、我的疑惑

/课堂探究

三、要点探究

探究点1：函数的图象

典例精析

2.探究点1新

例1：画出下列函数的图象：（1）y=2x+l；（2）y=-.知讲授

（见幻灯片

5-14）

要点归纳：画函数图象的一般步骤：

第一步，列表一一表中给出一些自变量的值及其;

第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为,相应的函数值

为，描出表格中数值对应的各点；

第三步：连线一一按照横坐标的顺序，把所描出的各点用连接起来.

问题1：（1）函数y=2x+l的图象是一条线，当自变量的值越来越大时，对应

的函数值_________.点（-0.5,1）,（1.5,4）是否在该函数的图象上？

（2）函数y=9的图象是两条线，当x<0时，y随x的增大而；当x

x

>0时，y随x的增大而.点（2,3）,（4,2）是否在该函数的图象上？

方法总结：通常的方法是把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函

数值y值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不在，则该

点不在函数图象上.

探究点2：实际问题中的函数图象

教学备注

问题2：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t

配套PPT讲授

的变化而变化.

3.探究点2新

你从图象中得到了哪些信息？

知讲授

(见幻灯片

15-24)

时气温最高

(2)从_______至______气温呈下降状态，从4时至14时气温呈上升状态，从

_______至______气温又呈下降状态.

(3)从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温.

典例精析

例2：小明同学骑自行车去郊外春游，如图表示他离家的距离y(km)与所用的时间x(h)之

间关系的函数图象.

(1)根据图象回答：小明到达离家最远的地方需.

(2)小明出发2.5h后离家km；

(3)小明出发h后离家12km.

方法总结：解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息.

主要步骤如下：

(1)了解横、纵轴的意义；(2)从上判定函数与自变量的关系；(3)抓住图象中端

点，拐点等特殊点的实际意义.

4.课堂小结二、课堂，小结

定义画法

一般地，对于一个函数，如果把自描点法画函数图象的一般步骤：①列

函数的

变量与函数的每对对应值分别作为表：在自变量取值范围内有代表性地

图象

点的横、纵坐标，那么坐标平面内取值，并求出相应的函数值；②描点：

由这些点组成的图形，就是这个函一对对应值确定一个点；③连线：按

数的图象.横坐标有小到大的顺序一次连接所描

各点.

\7

当堂检测教学备注

配套PPT讲授

1.某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间5.当堂检测

t,纵轴表示与山脚距离h,那么下列四个图中反映全程h与t的关系图是（）（见幻灯片

25-29）

2.最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨.如图表示某一天水位变化情况，0时的水

位为警戒水位.结合图象判断下列叙述不正确的是（）

A.8时水位最高

B.P点表示12时水位为0.6米

C.8时到16时水位都在下降

D.这一天水位均高于警戒水位

3.下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具

店去买笔，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示张强离家的距离.

(1)体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？

(2)体育场离文具店多远？

(3)张强在文具店停留了多少时间？

(4)张强从文具店回家的平均速度是多少？

\7

第十九章函数

教学备注19.1函数

19.1.2函数的图象

第2课时函数的表示方法

学习目标：1.了解函数的三种表示方法及其优点;

2.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系;

3能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论.

重点：会表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.

难点：能对函数关系进行分析.

学生在课前

完成自主学--------->A后主学第

习部分7

一、知识链接

1.什么是函数、自变量？画一个函数的图象一般有哪些步骤?

二、新知预习

1.购买一些铅笔，单价为1.5元/支，总价y元随铅笔支数x变化.

(1)完成下列表格；

X123456

y

(2)写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围;

(3)在平面直角坐标系中画出函数图象；

2.自主归纳：

函数的表示方法有、、.

三、自学自测

1.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出

这枝蜡烛点燃后剩下的长度h(厘米)与点燃时间t之间的函数关系的是().

2.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后,

没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫

升的水，请写出y与x之间的函数关系式是.

四、我的疑惑

教学备注

配套PPT讲授

课堂探究1.情景引入

(见幻灯片3)

四、要点探究2.探究点新知

讲授

探究点：函数的表示方法

(见幻灯片

问题1：下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，气温T是不是

4-16)

时间t的函数？这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？

问题2：正方形的面积S与边长x的取值如下表，面积S是不是边长x的函数？这里是

怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的？

X123456

y149162536

问题3：某城市居民用的天然气，1nP收费2.88元，使用x(n?)天然气应缴纳的费

用y(元)为丫=.y是不是x的函数？

问题4：以上三种表示函数的方法各有什么优点？

要点归纳:

1.____________法:准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.

2.____________法:具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.

3.____________法:直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律

典例精析

例1:如图，要做一个面积为12m2的小花坛，该花坛的一边长为xm,周长为ym.

(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；

(2)能求出这个问题的函数解析式吗？

\7

（3）当x的值分别为1,2,3,4,5,6时，请列表表示变量之间的对应关系;

教学备注

（4）能画出函数的图象吗？

配套PPT讲授

2.探究点新知

讲授

（见幻灯片

4-16）

例2：已知火车站托运行李的费用C（元）和托运行李的重量P（千克）（P为整数）

的对应关系如表:

P12345

C22.533.54

（1）已知小周的所要托运的行李重12千克，请问小周托运行李的费用为多少元?

（2）写出C与P之间的函数解析式.

（3）小李托运行李花了15元钱，请问小李的行李重多少千克？

针对训练

已知等腰三角形的面积为30cm2,设它的底边长为xcm,底边上的高为ycm

（1）求底边上的高y随底边长x变化的函数解析式.并求自变量的取值范围.

（2）当底边长为10cm时，底边上的高是多少cm?

3.课堂小结

二、课堂小结

函数的表示方法

列表法解析式法图象法

概通过列出自变量的值与对应函用数学式子表把自变量与函数的每对对应值

念数值的表格来表示函数关系.示函数关系.分别作为点的横、纵坐标，顺

次连接这些点组成的图形，就

是这个函数的图象.

优对表中已有自变量的每一个能准确地反映能直观、形象地反映函数关系

点值，可一目了然地得出对应的自变量与函数变化的趋势

函数值的对应关系

缺列出对应值是有限的，不易得不是所有函数由自变量的值往往难以找到对

点出自变量和函数之间的对应规都能用函数解应函数的准确值

律析式表示出来

y

当堂检测教学备注

配套PPT讲授

1.小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故4.当堂检测

停留10分钟，继续骑了5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）（见幻灯片

与所用时间t（分）之间的关系图象是（）17-22）

2.某工厂投入生产一种机器，每台成本y（万元/台）与生产数量X（台）之间是函数关系,

函数y与自变量x的部分对应值如下表：

X（单位：台）102030

y（单位：万元/台）605550

则y与x之间的关系式是（）

A.y=80-2xB.y=40+2xC.y=65--xD.y=6O--x

3.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数.

4.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长/是边长«的函数.

5.一条小船沿直线向码头匀速前进.在Omin,2min,4min,6min时，测得小船与码头的距

离分别为200m,150m,100m,50m.小船与码头的距离是时间的函数吗？如果是，写出函数

的解析式，并画出函数图象.

\7

第十九章函数

教学备注19.2一次函数

19.2.1正比例函数

第1课时正比例函数的概念

学习目标：1.理解正比例函数的概念；

2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.

重点：正比例函数的概念及其简单应用；

难点：会求正比例函数的解析式.

学生在课前---------->自主学习

完成自主学R

习部分一、知识链接

1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m(元)与销售量n(千克)成比例,

其比例系数为.

2.举例说明什么是函数及自变量.

二、新知预习

1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：

(1)圆的周长/随半径r的变化而变化.

(2)铁的密度为7.8g/cm:铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cn?)的变

化而变化.

(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习

本的本数n的变化而变化.

(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃,物体问题T(单位：℃)随冷冻时间

t(单位：min)的变化而变化.