人教A版高中数学必修第二册8.6.1课时评价作业（三十四）含答案

A级基础巩固1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠ABC=90°,AB=BC=1,则异面直线B1C1与AC所成的角的大小为()A.45° B.60° C.30° D.90°解析:因为BC∥B1C1,所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成的角.因为∠ABC=90°,AB=BC=1,所以∠ACB=45°,所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°.答案:A第1题图第2题图2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和平面AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是()A.60° B.45° C.30° D.90°解析:如图所示,连接B1D1,AB1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,所以EF∥AB1.因为CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角.在正方体中,∠B1AB=45°,所以EF与CD所成的角是45°.答案:B3.设P是直线l外一定点,经过点P,且与l成30°角的异面直线()A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.答案:A4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面,且与AD1所成的角为90°的面对角线共有1条.解析:面对角线是指正方体各个面上的对角线,与AD1异面的面对角线有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中与AD1所成的角为90°的仅有B1C.5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=2.求证:AD⊥BC.证明:如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.因为E是AB的中点,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.因为EF=2,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.B级能力提升6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,若M为A1C1的中点,则AM与BC1所成角的余弦值为()A.153B.53C.64D.10解析:由题意,取AC的中点N,连接C1N,BN,如图所示,则AM∥C1N,所以异面直线AM与BC1所成角就是直线BC1与C1N所成角.设直三棱柱的各棱长均为2,则C1N=5,BC1=22,BN=3.设直线BC1与C1N所成的角为θ,在△BNC1中,由余弦定理可得cosθ=(5)2即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为104,故选D答案:D7.如图所示,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,若异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=5.解析:如图所示,取AD的中点P,连接PM,PN.则BD∥PM,PM=12BD=3,AC∥PN,PN=12AC=4,所以∠MPN(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°,所以∠MPN=90°.在Rt△MPN中,MN=PM如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°.解析:如图所示,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角.设正方体的棱长为a,则A1M=32a,ME=54a,A1E=41所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.9.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心.求:(1)BE与CG所成的角的大小;(2)FO与BD所成的角的大小.解:(1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角.由题意知∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图所示,连接FH.因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB.因为HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形.因为O为侧面ADHE的中心,所以O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.C级挑战创新10.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,异面直线A1B和AD1所成的角为90°,则AA1=6.解析:如图所示,连接CD1,AC.由题意,得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=23,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD