人教A版高中数学必修第二册6.2.4 向量的数量积第2课时课时评价作业（六）含答案

A级基础巩固1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2 B.4 C.6 D.12解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以|a|2-a·b-6|b|2=-72.因为a·b=|a|×4cos60°=2|a|,所以|a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6.答案:C2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()A.7 B.10 C.13 D.4解析:因为|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a·b=1+9+6|a||b|cos60°=13,所以|a+3b|=13.答案:C3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3解析:因为c与d垂直,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,又a·b=0,所以2k=12,所以k=6.答案:B4.多选题对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是()A.|a·b|≥|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:根据a·b=|a||b|cosθ,且cosθ≤1,知|a·b|≤|a||b|,选项A不成立;当向量a和b方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,选项B不成立;根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,选项C恒成立;根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,选项D恒成立.答案:CD5.在△ABC中,若|AB|=3,|BC|=8,∠ABC=60°,则|AC|=7.解析:因为AC=BC-BA,所以|AC|2=(BC-BA)2=|BC|2+|BA|2-2BC·BA=82+32-2×8×3×cos60°=49,所以|AC|=7.6.已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=1(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|.解:(1)因为(a-b)·(a+b)=a2-b2=12,|a|=所以b2=a2-12=1-12=12,所以所以cosθ=a·b|a||因为θ∈[0,π],所以θ=π4,故a与b的夹角为π(2)|a+b|=(a+b)2B级能力提升7.(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=-92解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c·a=-928.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b的方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?解:(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.因为a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1,所以a·b=|a||b|cosθ=-1,所以cosθ=-12因为θ∈[0,π],所以θ=2π3(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=47C级挑战创新9.如图所示,在▱ABCD中,若AB=1,AD=2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则EF·FG+GH·HE=()32-3234D.-3解析:易知四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接HF,取HF的中点O,连接OE,则EF·FG=EF·EH=(EO-OH)·(EO+OH)=EO2-OH2=1-（12）2GH·HE=GH·GF=(GO+OH)·(GO-OH)=GO2-OH2=1-（12）2因此EF·FG+GH·HE=32答案:A10.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则PA12+PA22+…+PA解析:如图,连接OP,OA2,OA6,根据题意及向量加法的平行四边形法则可得PA22+PA62=(OA2-OP)2+(OA6-OP)2,易知OA2与OA6反向共线,所以PA22+PA62=12[(2OP同理得,PA12+PA52=12[(2OP)2+(2OA1)2]=2OP2+2,PA42+PA82=12[(2OP)PA