2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】【解析】，选C.2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的最小正周期，选D.3.（）A.2 B.4 C. D.6【答案】【解析】，选C.4.已知向量，则（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】B【解析】，选B.5.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】【解析】渐近线：，选C.6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A.7.在中，，，，则的面积为（）A.6 B.8 C.24 D.48【答案】【解析】，，，选C.8.已知函数，若当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，时，，，时，在上，①，即；②时，恒成立③时，，即，综上：，选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是抛物线的焦点，是上的点，为坐标原点，则（）A.B.C.以为圆心且过的圆与的准线相切 D.当的面积为【答案】ABC【解析】，则，对.，又，B对.抛物线的定义知到的距离与到准线的距离相等，故圆心与准线相切，对.时，错，选.10.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（）A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数 D.【答案】【解析】，是增函数，A对.在单调递减，单调解析递增，B错.是增函数，对.，D对，选ACD.11.下面四个绳结中，不能无损伤地变为下图中的绳结的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】采用实物模型演示.左手三叶结和右手三叶结不同痕(不能无损转换)，所以中至少一个不行(因为相当于三叶结变体，它们两镜像，所以不能转换)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若，则_____.【答案】e【解析】，.13.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_____.【答案】【解析】，三张卡片和为18有873，864，765三种情况14.已知曲线，两条直线均过坐标原点和交于两点，和交于两点，若的面积为，则的面积为_____.【答案】【解析】，在和单调递增，为奇函数，都是过原点的直线，对应的都是奇函数，则关于原点对称，关于原点对称则四边形为平行四边形，，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080服用15070220合计250400(1)求；(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为，给出的估计值；(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？附：， 0.0500.0100.001 3.8416.63510.828解：(1)；(2)；(3)零假设：药物对预防疾病无效，根据列联表中的数据可求得，根据小概率值的独立性检验，可充分推断不成立，在犯错误概率不超过0.01的情况下可认为药物对预防疾病有关.16.(15分)已知数列中，，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)令，证明：.(1)证明：，成首项为，公比为的解析等比数列.(2)解：由(1)知，.(3)证明：，显然关于单调递增，且恒成立，单调递减，关于单调递增，且，.17.(15分)已知函数.(1)设，求曲线的斜率为2的切线方程；(2)若是的极小值点，求的取值范围.解：(1)，，故切点为，切线方程为.(2)为的极小值点，，，，①当时，，令，此时当时，，单调递增；当时，，单调递减，在取得极大值，舍去.②当时，，在上单调递减，不存在极值，舍去.③当时，当时，，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减此时，在取得极大值，舍去.④当时，当时，，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，此时在取得极小值，符合.综上：的取值范围为.18.(17分)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，.(1)求的方程；(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与恰有一个公共点；(3)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程.(1)解：由题意知，的方程为.(2)证明：设中点为的中垂线方程为，，的垂直平分线与恰有一个公共点.(3)解：设，情形一：当时，的垂直平分解析线为，此时，或-3；情形二：当时，的垂直平分线为：， ，，的垂直平分线与恰有一个公共点，，，，也满足上式，的轨迹解析方程为，它为一个圆.(3)依题意知的垂直平分线与椭圆相切，设切点为，则，所以.下面证明在上：如图，假设不在上，则与切线有另一个交点，且在椭圆外，则这显然与两边之差大于第三边矛盾，所以在上.因此，所以的轨迹为圆，方程为.19.(17分)在平面四边形中，，，，沿翻折至，其中为动点.(1)设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上.(i)证明：平面平面；(ii)求球的半径；(2)求二面角的余弦值的最小值.(1)(i)证明：，，翻折后同样有，又，故面面，故面面.(ii)解：的外接圆圆心位于中点，作关于的对称点，有为的外接圆圆心，作为中点，面，又等边，故，而外接球球心为面面，有，，半径.(2)以为圆心，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，面的法向量，面的法向量，，设面与夹角，令，时取得最小值，此时最小值，余弦值最小值.2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】【解析】，选C.2.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的最小正周期，选D.3.（）A.2 B.4 C. D.6【答案】【解析】，选C.4.已知向量，则（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】B【解析】，选B.5.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】【解析】渐近线：，选C.6.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A.7.在中，，，，则的面积为（）A.6 B.8 C.24 D.48【答案】【解析】，，，选C.8.已知函数，若当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，时，，，时，在上，①，即；②时，恒成立③时，，即，综上：，选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是抛物线的焦点，是上的点，为坐标原点，则（）A.B.C.以为圆心且过的圆与的准线相切 D.当的面积为【答案】ABC【解析】，则，对.，又，B对.抛物线的定义知到的距离与到准线的距离相等，故圆心与准线相切，对.时，错，选.10.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（）A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数 D.【答案】【解析】，是增函数，A对.在单调递减，单调解析递增，B错.是增函数，对.，D对，选ACD.11.下面四个绳结中，不能无损伤地变为下图中的绳结的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】采用实物模型演示.左手三叶结和右手三叶结不同痕(不能无损转换)，所以中至少一个不行(因为相当于三叶结变体，它们两镜像，所以不能转换)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若，则_____.【答案】e【解析】，.13.有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为_____.【答案】【解析】，三张卡片和为18有873，864，765三种情况14.已知曲线，两条直线均过坐标原点和交于两点，和交于两点，若的面积为，则的面积为_____.【答案】【解析】，在和单调递增，为奇函数，都是过原点的直线，对应的都是奇函数，则关于原点对称，关于原点对称则四边形为平行四边形，，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080服用15070220合计250400(1)求；(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为，给出的估计值；(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？附：， 0.0500.0100.001 3.8416.63510.828解：(1)；(2)；(3)零假设：药物对预防疾病无效，根据列联表中的数据可求得，根据小概率值的独立性检验，可充分推断不成立，在犯错误概率不超过0.01的情况下可认为药物对预防疾病有关.16.(15分)已知数列中，，.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)令，证明：.(1)证明：，成首项为，公比为的解析等比数列.(2)解：由(1)知，.(3)证明：，显然关于单调递增，且恒成立，单调递减，关于单调递增，且，.17.(15分)已知函数.(1)设，求曲线的斜率为2的切线方程；(2)若是的极小值点，求的取值范围.解：(1)，，故切点为，切线方程为.(2)为的极小值点，，，，①当时，，令，此时当时，，单调递增；当时，，单调递减，在取得极大值，舍去.②当时，，在上单调递减，不存在极值，舍去.③当时，当时，，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减此时，在取得极大值，舍去.④当时，当时，，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，此时在取得极小值，符合.综上：的取值范围为.18.(17分)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，.(1)求的方程；(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与恰有一个公共点；(3)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程.(1)解：由题意知，的方程为.(2)证明：设中点为的中垂线方程为，，的垂直平分线与恰有一个公共点.(3)解：设，情形一：当时，的垂直平分解析线为，此时，或-3；情形二：当时，的垂直平分线为：， ，，的垂直平分线与恰有一个公共点，，，，也满足上式，的轨迹解析方程为，它为一个圆.(3)依题意知的垂直平分线与椭圆相切，设切点为，则，所以.下面证明在上：如图，假设不在上，则与切线有另一个交点，且在椭圆外，则这显然与两边之差大于第三边矛盾，所以在上.因此，所以的轨迹为