高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义1.1.2空间向量基本定理(1知识点+3题型+巩固训练)(学生版+解析)

1.1.2空间向量基本定理课程标准学习目标1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义;2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用;1.理解空间向量基本定理的概念和原理2.掌握空间向量基本定理的运用方法3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。知识点01空间向量的基本定理空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知a,b,c是空间的一组基底，则可以与向量A．a B．b C．a+2b 【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体ABCD−AA．AB,AC,AD B．AB,AD难点：空间向量基本定理与外接球结合问题示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥P−ABC中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若AB=PD=1，记BA=a，BC=A．a,B．BPC．三棱锥P−ABC的体积为1D．三棱锥P−ABC的外接球表面积为3【题型1：空间向量的基本定理及辨析】例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若{e1,e2,eA．83 B．5 C．−5 D．变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）p:a，b，c是三个不共面的单位向量，q:a,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若a,A．b，c，a+b B．b，a+c，a+b C．a−b，c，变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基a,b,c，则可以与向量A．2a+2bC．3a+c变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量aA．−1 B．1 C．0 D．−2变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量a,b,A．a−c C．a+b 变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（

）A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底D．若a,b,【方法技巧与总结】基底的判断思路（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【题型2：用基底表示向量】例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥C−OADB中，底面OADB为平行四边形，E为AC的中点，F为BD的中点，OA=a，OB=b，

A．b−12C．a−12变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，A．−12a+12b+c变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为

A．54 B．34 C．52变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用BA，BD，BC表示EG，则EG=变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥A−BCD中，点O为三角形BCD的中心，AO=xAB+yAC变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB

变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1，BB1【方法技巧与总结】1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.【题型3：空间向量基本定理及其应用】例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M,N分别为线段OA,BC的中点，若MN=xOA+y

A．−12 B．14 C．变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1=2AB，N是A．34 B．1 C．54 变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN=xOA+y

A．13 B．12 C．2变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱ABCD−A1B1C1DA．-23 B．23 C．−4变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若MN=xOA+yOB+z变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）{a,b,c}是空间的一个基底，向量p=3a+b变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=(1)用向量a,b,(2)若D1一、单选题1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量m=3a+2b−A．3 B．2 C．-1 D．42．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A．MN=16C．MN=−163．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足AB=2MB，CN=2ND，若A．−13 B．13 C．4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设

A．a+b+c B．a+b5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若a,A．b+c,C．a−b+6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量a,A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若a,C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量pD．若a,b不共线，向量c=λa+μb（7．（23-24高二上·全国·课后作业）当|a|=|b|≠0，且a、A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2A．−34 B．34 C．4二、多选题9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．两异面直线所成角的取值范围是0,B．若直线l与平面α相交，则该直线l与平面α所成角的取值范围是0,C．二面角的平面角的取值范围是0,D．若a，b，c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得x10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（

）A．若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23B．空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC，则P，D．设{a,b,c}是空间的一组基底，若11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（

）A．AB，AD，AE不能构成空间的一个基底B．AC，AD，AE不能构成空间的一个基底C．BC，CD，DE不能构成空间的一个基底D．AB，CD，EA能构成空间的一个基底三、填空题12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设AA1=a13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知ABCD−A'B'C'D'是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'

14．（23-24高二上·贵州·开学考试）a,b,c是空间的一个基底，向量p=3a+b+四、解答题15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体ABCD−A1B1C1D1，点E在棱CC1的延长线上，且C1E=

(1)AC(2)D1(3)BD(4)AE．16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，PA=4，PB=5，PC=3，∠APB=∠BPC=60°，∠CPA=90°，D，E分别是PA，BC的中点，点F在DE上，且DF=2FE，记PA=a，

(1)试用基底a,b,c表示向量PE，(2)求PA⋅PB和17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA的长为4，且PA与AB、AD的夹角都等于80°，N是PC的中点，设AB=a，AD=(1)用基底{a,b(2)求AN的长.18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记OA=a，OB=b，OC=c，点E(1)若D是棱AB的三等分点（靠近点A），用向量a，b，c表示向量DE；(2)若D是棱AB的中点，BE·19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB1.1.2空间向量基本定理课程标准学习目标1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义;2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用;1.理解空间向量基本定理的概念和原理2.掌握空间向量基本定理的运用方法3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。知识点01空间向量的基本定理空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知a,b,c是空间的一组基底，则可以与向量A．a B．b C．a+2b 【答案】A【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断．【详解】因为p=a+又2a显然A，B，C三个选项中的向量都与p,而D选项中多了个c，无论如何，a+c是无法用．【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体ABCD−AA．AB,AC,AD B．AB,AD【答案】A【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用AB,AD,AA【详解】A选项，AB,B选项，AB,C选项，AB,D选项，因为AC1=设AC即AB+m=1n=1故AC

难点：空间向量基本定理与外接球结合问题示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥P−ABC中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若AB=PD=1，记BA=a，BC=A．a,B．BPC．三棱锥P−ABC的体积为1D．三棱锥P−ABC的外接球表面积为3【答案】ACD【分析】如图，将三棱锥P−ABC补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公式、球的表面积公式依次求解即可．【详解】A：将三棱锥P−ABC补形为正方体，则三棱锥P−ABC内接于直径为3的球，如图所示，则AB,BC,PD两两垂直，故A正确；B：BP=C：由题意知PD⊥平面ABCD，又S△ABC=1所以V三棱锥D：由选项A知，该正方体的对角线长为3，三棱锥P−ABC外接球即为正方体得外接球，所以该球的表面积S外接球CD．【题型1：空间向量的基本定理及辨析】例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若{e1,e2,eA．83 B．5 C．−5 D．【答案】C【分析】根据给定条件，由向量OA,【详解】依题意，OA,OB,OC共面，则存在实数于是ke因此k=2x+yx−y=3x+2y=2，解得变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）p:a，b，c是三个不共面的单位向量，q:a,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】根据基底的定义，可知，若a，b，c是三个不共面的单位向量，则a,反过来，若a,b,c为空间的一个基底，则a，所以p是q的充分不必要条件.变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若a,A．b，c，a+b B．b，a+c，a+b C．a−b，c，【答案】A【分析】由题意可知a,【详解】由于a,b,对于A，a+b与a,b共面，a,b,否则，若b，c，a+b共面，则对于B，假设b，a+c，a+b共面，则存在实数即b=(λ+μ)a+λ假设不不成立，故b，a+c，对于C，a−b，a+b与故a−b，a+对于D，a−b=(c−b)−(变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基a,b,c，则可以与向量A．2a+2bC．3a+c【答案】A【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可.【详解】不存在实数m，n，使得2a+2b=m(a−2b因为2a−b=a+b因为3a+c=a−2b因为3b+2c=a+b.变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量aA．−1 B．1 C．0 D．−2【答案】C【分析】根据向量共面列方程，化简求得t的值.【详解】由于a=e1+e由于a,所以存在x,y∈R使得ce1所以1=x0=x+yt=−y，解得变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量a,b,A．a−c C．a+b 【答案】CCD【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为a−所以a−故不能构成空间的一个基底，故A错误；对于选项B：因为a+则x=1−x+y=0y=−1，方程无解，即不存在实数所以a−对于选项C：因为a+则x=1−x+y=1−y=0，方程无解，即不存在实数所以a−对于选项D：因为a+则x=1−x+y=1−y=1，方程无解，即不存在实数所以a−CD.变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（

）A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底D．若a,b,【答案】ACD【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案.【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量，由于非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，即向量a，b与任何一个向量均共面，则a，b必共线，A正确；对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误；对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确；对于D，由于a,b,而a+b,a−b与故a+CD【方法技巧与总结】基底的判断思路（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【题型2：用基底表示向量】例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥C−OADB中，底面OADB为平行四边形，E为AC的中点，F为BD的中点，OA=a，OB=b，

A．b−12C．a−12【答案】A【分析】连OE，OF，根据空间向量的线性运算分析求解.【详解】连OE，OF，

可得EF=OB.变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，A．−12a+12b+c【答案】A【分析】结合条件用a,b,【详解】因为AB=a，AC=所以AM=12所以MG=所以，MG+变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为

A．54 B．34 C．52【答案】D【分析】以AA1，AD，AB作为一组基底表示出BM，再根据数量积的运算律求出【详解】依题意BM=A所以BM==1所以BM=52变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用BA，BD，BC表示EG，则EG=【答案】−【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可.【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，所以EG=−=−1故答案为：−变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥A−BCD中，点O为三角形BCD的中心，AO=xAB+yAC【答案】1【分析】取BC中点N，连接DN，AN，利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】取BC中点N，连接DN，ANAO又ND∴∴x=y=z=13，故答案为：127变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D【答案】3+3【分析】利用空间向量基本定理，选取AB,【详解】因为平行六面体ABCD−A∠A所以A==3+6故答案为：3+32变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB

【答案】1【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.【详解】连接SF，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF

所以SG=1所以SG=故答案为：13变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1，BB1【答案】3【分析】由G是MN的中点，可得AG=12【详解】解：连接AM,AN，如图所示：因为G是MN的中点，M,N分别是A1C1所以AG=====1又因为AG=x所以x=1所以x+y+z=3故答案为：3【方法技巧与总结】1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.【题型3：空间向量基本定理及其应用】例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M,N分别为线段OA,BC的中点，若MN=xOA+y

A．−12 B．14 C．【答案】A【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示MN，再借助空间向量基本定理求解即得.【详解】在四面体OABC中，由M,N分别为线段OA,BC的中点，得MN=而MN=xOA+y所以x+y−z=−1变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1=2AB，N是A．34 B．1 C．54 【答案】D【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可.【详解】结合图形可知：∵G是CN的中点，A1B1∴A∵N是B1C1A1即A1∵A1G=xA.变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN=xOA+y

A．13 B．12 C．2【答案】C【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解.【详解】MN==OB=OB=−1即x=−12，y=1−λ，所以x+y+z=1变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱ABCD−A1B1C1DA．-23 B．23 C．−4【答案】A【分析】根据空间向量基本定理以及空间向量线性运算，即可求解．【详解】因为点E在线段DC上满足DE=2由向量的运算法则，可得ED因为EA1=x所以x+y+z=−2.变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若MN=xOA+yOB+z【答案】12/【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示MN，再借助空间向量基本定理求解即得.【详解】在四面体OABC中，由M,N分别为线段OA,BC的中点，得MN=而MN=xOA+y所以x+y+z=1故答案为：12变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=【答案】310/【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以a,b,【详解】在平行六面体ABCD−A因为点M是A1D1的中点，点N所以MN====4又MN=x由空间向量基本定理得，x=4则x+y+z=3故答案为：310变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）{a,b,c}是空间的一个基底，向量p=3a+b【答案】1【分析】将p转化成以{a,b,c【详解】因为p=xa+∴x−y=1．故答案为：1．变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=(1)用向量a,b,(2)若D1【答案】(1)D1B=(2)x=1【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.（2）用a,b,【详解】（1）在平行六面体ABCD−AD1由E,F分别是AD得EF=.（2）D1而D1F=x所以x=1一、单选题1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量m=3a+2b−A．3 B．2 C．-1 D．4【答案】C【分析】由空间向量基本定理即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知m在b上的投影即为b的系数2.2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A．MN=16C．MN=−16【答案】C【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.【详解】取下底面ABC的中心Q，连接NQ,CM，则MQ=−∴MN=故选:B．3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足AB=2MB，CN=2ND，若A．−13 B．13 C．【答案】D【分析】直接利向量的线性运算求出结果．【详解】在四面体ABCD中，由于点M，N满足AB=2MB，如图所示：故MN=故x+y+z=−14．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设

A．a+b+c B．a+b【答案】D【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可.【详解】因为D1所以D1.5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若a,A．b+c,C．a−b+【答案】D【分析】根据共面定理逐一判断即可.【详解】因为b+c=a+c−所以b+因为a+b+c=12所以a+假设存在m，n，使得a−则m+n=1−m=−1n=1，显然无解，所以a−b+所以a−因为b−c=a+b−所以b−6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量a,A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若a,C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量pD．若a,b不共线，向量c=λa+μb（【答案】D【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】A选项，若a与b共线，b与c共线，当b为零向量时，a与c不一定共线，所以A选项错误.B选项，若a,比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.D选项，若a,b不共线，向量c=λa+μ则a,b,7．（23-24高二上·全国·课后作业）当|a|=|b|≠0，且a、A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定【答案】A【分析】利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.【详解】根据平行四边形法则可得，以a，b为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为a+所以a+b与.8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2A．−34 B．34 C．4【答案】A【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x【详解】由题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x即2a则2a则x=2，y=−32，λy−x=0，解得.二、多选题9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．两异面直线所成角的取值范围是0,B．若直线l与平面α相交，则该直线l与平面α所成角的取值范围是0,C．二面角的平面角的取值范围是0,D．若a，b，c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得x【答案】AB【分析】ABC选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D选项，根据空间基底的概念得到a，b，c不共面，故结论不不成立.【详解】A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是0,πB选项，直线与平面的夹角范围为0,π2，但直线l与平面则该直线l与平面α所成角的取值范围是0,πC选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误；D选项，若a，b，c是空间向量的一组基底，则a，b，c不共面，不存在非零实数x，y，z，使得xaB10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（

）A．若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23B．空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC，则P，D．设{a,b,c}是空间的一组基底，若【答案】ABC【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则13对于B，因为a//b，则a,b共线，则根据共面向量的定义可得，a，对于C，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC，又2+2022−2023=1，则P，对于D，若a+b，a−b，c共面，则c=xa+b+ya−b=BC．11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（

）A．AB，AD，AE不能构成空间的一个基底B．AC，AD，AE不能构成空间的一个基底C．BC，CD，DE不能构成空间的一个基底D．AB，CD，EA能构成空间的一个基底【答案】ABC【分析】由AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，可得空间五点A，B，C，D，E共面，从而可作判断【详解】解：因为AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线所以空间五点A，B，C，D，E共面，所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.BC【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题三、填空题12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设AA1=a【答案】a【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用AA1=a，AB=b【详解】AE=故答案为：a13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知ABCD−A'B'C'D'是平行六面体．设M是底面ABCD的中