2023届高考数学特训营第6节-空间向量的应用

第七单元第6节空间向量的应用2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用1.直线与平面所成的角直观想象数学运算逻辑推理2.二面角3.距离问题0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．异面直线所成角若异面直线l1，l2所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝________，其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量．[注意]

两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝__________，如图②③.[注意]

(1)利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断；

(2)点到直线的距离

1．[知识拓展]最小角定理如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.【例】已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB＝∠BOC＝45°，则∠AOC的大小为________．2.[学以致用]空间坐标系的建立应用空间向量，合理“建系设点”是关键．以三棱锥为例说明．【例1】在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，如图1.

【例2】如图3，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．解析：存在线面垂直关系时，一般以面的垂线为z轴构造三线垂直关系．如图4，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O­xyz.【例3】如图5，平面PAC⊥平面ABC，△APC，△ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC的中点．解析：存在面面垂直关系时，可先在一面内作交线的垂线，从而构造三线垂直关系．如图6，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.1．[易错诊断]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．【易错点拨】忽略二面角的取值范围致误．

3．[模拟演练](2022·山东威海高三模拟)如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．解析：由已知得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，4．[真题体验](2021·全国甲卷)已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE.(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？解：因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，又BB1∩BF＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，所以BA，BC，BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，所以B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(0，2，1)．由题设D(a，0，2)(0≤a≤2)．

02能力特训特训点1特训点2特训点3典例1

(2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．特训点1直线与平面所成的角【师生共研类】解：(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，A1N，MN⊂平面A1AMN，A1N∩MN＝N，故B1C1⊥平面A1AMN.又B1C1⊂平面EB1C1F，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.

利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，其余角就是斜线与平面所成的角．(2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC­DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)证明：EF⊥DB.(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

(2)法一：如图①，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.由三棱台ABC­DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角．由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．法二：由三棱台ABC­DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ.如图②，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O­xyz.

特训点2二面角【师生共研类】因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC.

利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.(1)证明：点C1在平面AEF内．(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A­EF­A1的正弦值．

典例3在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．特训点