高中数学(人教B版)必修三同步讲义第03讲三角函数的定义(学生版+解析)

第03讲三角函数的定义 课程标准学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用；2.会判断三角函数在各象限的符号。1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养；2.借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养。知识点01任意角的正弦、余弦、正切的定义1．任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(req\r(x2＋y2)＞0)．称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作cosα，因此sinα，cosα.当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tanα，即tanα角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数.2．三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：【解读】(1)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sinα表示的是一个比值而不是sin与α的积．(2)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．（3）当P(x，y)为α的终边与单位圆的交点时，此时.【即学即练1】（24-25高一上·广西防城港·期中）设角终边上的点的坐标为，则（

）A． B．C． D．知识点02正弦、余弦与正切在各象限的符号1.正弦、余弦、正切在各象限的符号（1）当且仅当的终边在第一、二象限，或轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第三、四象限，或轴负半轴上时，；（2）当且仅当的终边在第一、四象限，或轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第二、三象限，或轴负半轴上时，；（3）当且仅当的终边在第一、三象限，；当且仅当的终边在第二、四象限，。上述结果可用下图直观表示：【解读】（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离的值总是正值，根据三角函数定义值：正弦值的符号取决于纵坐标的符号；余弦值的符号取决于横坐标的符号；正切值的符号是由、的符号共同决定的，即、同号为正，异号为负。（2）记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．【即学即练2】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题型01已知终边上的点求三角函数值【典例1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．【变式1】（24-25高一上·天津津南·期中）若角的终边过点，则的值为（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角终边上有一点，则的值为（

）A．4 B． C． D．【变式3】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）若点是角终边上的一点，则．题型02根据三角函数定义求参数【典例2】（24-25高一上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则a等于（

）A．1 B． C．1或 D．1或【变式1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（

）A．和 B． C． D．【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若角的终边经过点，则可能为（

）A． B． C． D．【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则.题型03由单位圆求三角函数值【典例3】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为.【变式2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为.【变式3】（22-23高三上·安徽合肥·阶段练习）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（

）A． B． C． D．【变式4】角以为始边，它的终边与单位圆相交于第四象限点，且点的横坐标为，则的值为.题型04求特殊角的三角函数值【典例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）求角的正弦、余弦、正切值.【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求角的正弦、余弦、正切值.【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）求下列角α的正切函数值：(1)；(2)．【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）求的正弦、余弦和正切值．题型05各象限角三角函数值的符号【典例5】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知角是第四象限角，则下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·广东东莞·期中）点落在（

）A．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内【变式3】（24-25高一上·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设是的一个内角，则下列点可能位于第二象限的是（

）A． B．C． D．一、单选题1．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列三角函数值的符号为负的是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．或5．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（

）A．−2 B． C．2 D．16．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（

）.A．第一、四象限的角B．第二、三象限的角C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为（

）A． B． C．0 D．二、多选题9．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（

）A．为钝角 B．C． D．点在第二象限10．（23-24高一下·广西·开学考试）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．（24-25高一上·全国·课后作业）(多选)已知函数（且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（

）A． B． C． D．三、填空题12．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则．13．（24-25高二上·上海·期中）若角的终边经过点，则.14．（24-25高一上·全国·课后作业）当为第三象限角时，．四、解答题15．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，求，.16．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若角的终边过点.(1)求的值.(2)试判断的符号.17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义．(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值．第03讲三角函数的定义课程标准学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用；2.会判断三角函数在各象限的符号。1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养；2.借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养。知识点01任意角的正弦、余弦、正切的定义1．任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(req\r(x2＋y2)＞0)．称为角α的正弦，记作sinα；称为角α的余弦，记作cosα，因此sinα，cosα.当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tanα，即tanα角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数.2．三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：余弦函数：正切函数：【解读】(1)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sinα表示的是一个比值而不是sin与α的积．(2)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．（3）当P(x，y)为α的终边与单位圆的交点时，此时.【即学即练1】（24-25高一上·广西防城港·期中）设角终边上的点的坐标为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由任意三角函数的定义即可求解【详解】设角终边所在圆的半径为，由题意得，，所以，，，所以D选项正确，知识点02正弦、余弦与正切在各象限的符号1.正弦、余弦、正切在各象限的符号（1）当且仅当的终边在第一、二象限，或轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第三、四象限，或轴负半轴上时，；（2）当且仅当的终边在第一、四象限，或轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第二、三象限，或轴负半轴上时，；（3）当且仅当的终边在第一、三象限，；当且仅当的终边在第二、四象限，。上述结果可用下图直观表示：【解读】（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，从原点到角的终边上任意一点的距离的值总是正值，根据三角函数定义值：正弦值的符号取决于纵坐标的符号；余弦值的符号取决于横坐标的符号；正切值的符号是由、的符号共同决定的，即、同号为正，异号为负。（2）记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．【即学即练2】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限.【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，由，可得角的终边位于第三象限.题型01已知终边上的点求三角函数值【典例1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用三角函数定义代入公式计算可得结果.【详解】由角的终边上有一点P的坐标是，可得，，，所以..【变式1】（24-25高一上·天津津南·期中）若角的终边过点，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由点坐标求出点到原点的距离，利用余弦函数的定义可得结果.【详解】∵角的终边过点，∴，∴..【变式2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角终边上有一点，则的值为（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由任意角三角函数的定义求解即可.【详解】因为点是角终边上一点，所以.故选：.【变式3】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解.【详解】由题意，，解得，所以，【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）若点是角终边上的一点，则．【答案】【分析】利用三角函数的定义求得正确答案.【详解】由题得，故．故答案为：题型02根据三角函数定义求参数【典例2】（24-25高一上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则a等于（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【分析】利用三角函数的定义，直接列出关系式求出的值．【详解】角的终边经过点，且，所以，并且，解得（舍）或．．【变式1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（

）A．和 B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，，由三角函数的定义可得出关于的方程，即可解出的值.【详解】由三角函数的定义可得，则，整理可得，因为，解得.【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若角的终边经过点，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解.【详解】，则．故选:【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则.【答案】【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.【详解】因为是角终边上一点，所以，由三角函数的定义，得，解得.故答案为：.题型03由单位圆求三角函数值【典例3】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，得到坐标.【详解】相遇时间为秒，故转过的角度为，故对应坐标为，即.【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为.【答案】【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解.【详解】因为，可知角与角的终边相同，且，，所以角与单位圆的交点坐标为.故答案为：.【变式2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为.【答案】【分析】求出点P在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点P所在位置的坐标.【详解】在第一象限，又，故点P在单位圆上，设点P的初始位置所在角为，则，故，顺时针转动后，点P在第四象限，设转动后的角为，则，因为，所以点P所在位置的坐标为.故答案为：【变式3】（22-23高三上·安徽合肥·阶段练习）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意在圆内作内接正三十六边形后求解，【详解】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为，由题意得，【变式4】角以为始边，它的终边与单位圆相交于第四象限点，且点的横坐标为，则的值为.【答案】/-0.75【分析】由角的终边与单位圆交于，故将的坐标求出，利用定义就可以求出的值.【详解】由交的终边与单位圆相交于第四象限点，且点的横坐标为所以点的纵坐标为，所以，有定义可得故答案为：.题型04求特殊角的三角函数值【典例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）求角的正弦、余弦、正切值.【答案】，，.【分析】在角的终边上取点P，使OP的长为1，利用定义求三角函数的值.【详解】解：设角的终边交以原点为圆心的单位圆于点P，如图，过P点作x轴的垂线，其垂足为M.

在中，，由此可得，，所以，，于是，，.【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求角的正弦、余弦、正切值.【答案】，，【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】设角的终边交以原点为圆心的单位圆于点P，如图，过点P作x轴的垂线，其垂足为M.在中，，由此可得，，所以，于是，，.【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）求下列角α的正切函数值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由正切函数的定义即可求解.【详解】（1）因为，所以，．由正切函数的定义，得．（2）因为，所以，．由正切函数的定义，得．【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，【分析】求得终边与单位圆的交点坐标，根据三角函数的定义可直接求得.【详解】如图，在中，，，，进而故答案为：，，.题型05各象限角三角函数值的符号【典例5】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限.【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，由，可得角的终边位于第三象限.【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知角是第四象限角，则下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知结合三角函数的定义即可判断.【详解】由题得.故选B．【变式2】（24-25高一上·广东东莞·期中）点落在（

）A．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内【答案】A【分析】根据三角函数的诱导公式和符号，分别得出横纵坐标的正负值情况，即可判断点所在象限.【详解】因为所以点落在第四象限内，.【变式3】（24-25高一上·吉林·期中）点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】判断分别是哪个象限角，结合三角函数的定义即可判断.【详解】因为，所以，因为，所以，所以点在平面直角坐标系中位于第二象限，.【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）设是的一个内角，则下列点可能位于第二象限的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】结合的范围判断各选项即可.【详解】由题得，，所以，BC错误；当时，，AD正确．D.一、单选题1．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意直接求解即可【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，所以，2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列三角函数值的符号为负的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和诱导公式的应用以及三角函数在各象限的符号求出结果.【详解】因为角是第二象限角，所以，A错误；因为角的终边，在轴正半轴上，所以，B错误；因为角是第二象限角，所以，C正确；因为，所以角的终边在第一象限，所以，D错误．.3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合余弦函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当时，，故充分性不成立，当时，，，故必要性不不成立，所以“”是“”的充分不必要条件..4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据任意角三角函数的定义求，代入运算即可.【详解】因为角的终边经过点，则，可得，所以..5．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边经过点，且，则实数的值是（

）A．−2 B． C．2 D．1【答案】C【分析】根据角的余弦值与终边上点的坐标可得角的终边所在象限，进而可得参数的取值范围，利用余弦函数的定义建立方程，可得答案.【详解】，说明角的终边在第二或第三象限，终边上的点，，说明终边在第二象限，，，，解得..6．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（

）.A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角【答案】A【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断.【详解】由可知，同号，所以为第一象限的角和第四象限的角，.7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案.【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则，所以．.8．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】由题意可得余弦值不为零，取直线上非原点的任一点，利用正弦函数与余弦函数的定义，可得答案.【详解】由题知，设角的终边上一点，则.当时，，，，所以；当时，，，，所以..二、多选题9．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（

）A．为钝角 B．C． D．点在第二象限【答案】CD【分析】根据给定条件，结合三角函数定义，逐项判断即可.【详解】对于A，点位于第二象限，即角是第二象限角，不一定是钝角，A错误；对于BCD，点到原点的距离，则，，，C错误，BD正确.D10．（23-24高一下·广西·开学考试）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（