2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.1向量的概念课时作业新人教B版必修第二册

PAGE1-6.1.1向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：D2．下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|).A．3B．2C．1D．0解析：依据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是错误的．答案：D3．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则()A.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))B.eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))C.eq\o(PE,\s\up12(→))＝eq\o(PF,\s\up12(→))D.eq\o(EP,\s\up12(→))＝eq\o(PF,\s\up12(→))解析：由平面几何学问知，eq\o(AD,\s\up12(→))与eq\o(BC,\s\up12(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up12(→))≠eq\o(BC,\s\up12(→))；eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(BD,\s\up12(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up12(→))≠eq\o(BD,\s\up12(→))；eq\o(PE,\s\up12(→))与eq\o(PF,\s\up12(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up12(→))≠eq\o(PF,\s\up12(→)).eq\o(EP,\s\up12(→))与eq\o(PF,\s\up12(→))的模相等且方向相同，∴eq\o(EP,\s\up12(→))＝eq\o(PF,\s\up12(→)).答案：D4．若|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(AD,\s\up12(→))|且eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，则四边形ABCD的形态为()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(AD,\s\up12(→))|，所以四边形ABCD为菱形．答案：C二、填空题5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝________.解析：因为正方形的对角线长为2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的随意两点为始点和终点的全部向量中，与向量eq\o(EF,\s\up12(→))方向相反的向量为________．解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与eq\o(EF,\s\up12(→))平行的向量为eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))，其中方向相反的向量为eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→)).答案：eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))7．给出下列命题：①若eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中全部正确命题的序号为________．解析：eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|，eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(DC,\s\up12(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确；对于④，当b＝0时，a与c不肯定平行，故④不正确．答案：②③三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解析：(1)依据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何学问可作满意条件的向量c，全部这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A点动身向西行驶了100千米到达B点，然后又变更了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最终又变更方向，向东行驶了100千米到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up12(→))|.解析：(1)如图所示．(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))共线，即AB∥CD.又|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(CD,\s\up12(→))|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝200(千米)．[尖子生题库]10．如图，在△ABC中，已知向量eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(DF,\s\up12(→))＝eq\o(EC,\s\up12(→))，求证：eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→)).证明：由eq\o(DF,\s\up12(→))＝eq\o(EC,\s\up12(→))，可得DF＝EC且DF∥EC，故