2025届江苏省苏州市八校高三上学期12月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市八校2025届高三上学期12月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则,故若，则，不等式无解，此时,符合题意，当时，，结合，则，解得，综上可得，故选：A2.“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，且对任意的，，所以，数列为等比数列，即“数列是等差数列”“数列为等比数列”；另一方面，若数列为等比数列，不妨取，则数列为等比数列，但无意义，即“数列是等差数列”“数列为等比数列”.因此，“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.故选：A.3.高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（）车速频数61218302410A.100辆车的车速的中位数小于B.100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80%C.100辆车的车速的极差介于至之间D.100辆车的车速的平均值介于至之间【答案】C【解析】对于A，，，则中位数位于，故A错误；对于B，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故B错误；对于C，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.4.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A.10 B.9 C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故选：B5.已知正四棱台，二面角的正切值为2，则正四棱台的体积为（）A. B.56 C. D.【答案】B【解析】因为是正四棱台，连接交一点，连接交一点，则是该正四棱台的高，设为，过点分别作、的平行线交于点，则以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，因为，所以，，由图可得平面的其中一个法向量为，设平面的法向量为m=x则，即，令，则，所以平面的法向量为，则，因为二面角的正切值为2，则二面角的余弦值为，所以，解得，该四棱台上底面积，下底面积为，所以正四棱台的体积为：，故选：B.6.已知P为抛物线上的一动点，过P作y轴的垂线，垂足为B，点Q是圆上的一动点，则的最小值为（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】抛物线的焦点为F1,0,圆心,半径，连接,由抛物线定义可得,故，当且仅当三点共线，且在之间时取等号，故选：D7.已知函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象上存在关于轴对称的点，则与，在有交点，即在有解，可转化为在有解，令，，则，故函数在上单调递增，，且时，，所以，则，又恒成立，即，，则，.故选：D.8.在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（）A.椭圆的对称轴为 B.的最大值为C.椭圆的离心率为 D.n的最大值为【答案】C【解析】设是椭圆上任意一点，则关于对称的点为，关于对称的点为，由可得和均在曲线上，故椭圆的对称轴为，故A正确；对于B，，则，故，当且仅当取等号，故B正确；对于C，由A可知：是的两条对称轴，令，则，解得，令，则，解得，故长半轴轴长，短半轴长，故离心率为，故C错误；对于D，由可将其看作是关于的方程，且该方程有实数根，故，故，因此n的最大值为，故D正确；故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则中至少有一个为0C.D.若，则【答案】BCD【解析】对于A,若，满足，但，故A错误，对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确，对于C，，C正确，对于D，设，,故故，，故D正确，故选：BCD10.已知函数，则下列选项正确的是（）A.的图象关于点对称 B.是的极大值点C.在处的切线方程为 D.在区间上单调递增【答案】AC【解析】A：，即，所以的图象关于点对称，A对；B：由，令，则，即且，令，则，即且，显然时，上递减，上递增，故是的极小值点，B错；C：由B分析知，又，易知在处的切线方程为，C对；D：由B分析知，区间中，在上递增，在上递减，D错.故选：AC11.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（）A.事件与事件互斥 B.事件与事件B相互独立C. D.【答案】ACD【解析】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确；，，故C正确；所以，，所以，则，所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______．【答案】【解析】由得：,由得：,所以，,所以.故答案为：13.设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．【答案】2【解析】不妨设在第一象限，则点也在第一象限，设，，因为，所以，故，，又，故，解得，由双曲线定义得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，将代入中，得，解得，所以的离心率为.故答案为：214.某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是__________号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是__________．【答案】①.64②.126【解析】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号，第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号，第三次报数后向前一步原编号为，为第四次报数时的新编号，第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号，第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号，显然第六次报数时向前一步的编号为，因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为，所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为.故答案为：64；126四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，面积为，已知（1）求；（2）若边上的高为1且，求的面积．解：（1）且即由正弦定理得∵在中，，即．（2），由正弦定理得在中，作于点为边上的高，即设为上的四等分点，中，中，且．16.已知函数．（1）已知在处取得极小值，求a的值；（2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1）因为，定义域为所以因为在取得极小值，所以，所以，检验：，定义域为，，x3-0+↓极小值↑所以；（2）因为对恒成立所以令①即时，恒成立，在单调递增恒成立，②即时，，x1-0+0↓极小值↑所以，与题意不符，舍去，综上所述：．17.记为数列的前项和，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和；（3）数列的前n项和为，且，求证：．（1）证明：当时，，则，当时，，即，而，所以数列成首项为3，公比为的等比数列，（2）解：由（1）知，，则，由，所以，则，设前n项和记为，所以①，则②，①②得，则，即数列的前n项和为.(3)证明：由（2）知，，则，所以所以，因为，所以．18.如图，在直四棱柱中，平面，，，其中，，是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）若异面直线、所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接、，在直四棱柱中，因为是中点，则且，因为是的中点，则且，所以，且，所以，四边形平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面.（2）解：连接，设，连接，因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，所以，异面直线、所成余弦值即直线、所成余弦值，在直四棱柱中，面，因为平面，所以，，在中，，且，则，因为为的中点，且，所以，在中，，，则，因为平面，平面，则，因为，，、平面，所以，平面，又因为平面，则，在中，，则，连接，取其中点，连接、，取的中点，因为，为的中点，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、，设平面的法向量，，，则，取，可得，易知面的一个法向量，，由图可知，二面角为钝角，因此，二面角余弦值为.19.已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动圆与椭圆相交于、、、四个不同的点，直线、相交于点，记直线、的斜率分别为、．①比较与的大小（不要给出证明）；②试问是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由．解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）①由题意可知，点在圆外，因为、、、四点共圆，则，，所以，，则，故；②设点Ax1,y1、B由题意可知，直线、均与椭圆相交，联立，可得，可得，所以，、为方程的两根，令，二次方程可化为，则、为关于的二次方程的两根，由韦达定理可得，由弦长公式可得，同理可得，因为，则，即，整理可得，即，显然，故.江苏省苏州市八校2025届高三上学期12月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则,故若，则，不等式无解，此时,符合题意，当时，，结合，则，解得，综上可得，故选：A2.“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，且对任意的，，所以，数列为等比数列，即“数列是等差数列”“数列为等比数列”；另一方面，若数列为等比数列，不妨取，则数列为等比数列，但无意义，即“数列是等差数列”“数列为等比数列”.因此，“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.故选：A.3.高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（）车速频数61218302410A.100辆车的车速的中位数小于B.100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80%C.100辆车的车速的极差介于至之间D.100辆车的车速的平均值介于至之间【答案】C【解析】对于A，，，则中位数位于，故A错误；对于B，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故B错误；对于C，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.4.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A.10 B.9 C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故选：B5.已知正四棱台，二面角的正切值为2，则正四棱台的体积为（）A. B.56 C. D.【答案】B【解析】因为是正四棱台，连接交一点，连接交一点，则是该正四棱台的高，设为，过点分别作、的平行线交于点，则以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，因为，所以，，由图可得平面的其中一个法向量为，设平面的法向量为m=x则，即，令，则，所以平面的法向量为，则，因为二面角的正切值为2，则二面角的余弦值为，所以，解得，该四棱台上底面积，下底面积为，所以正四棱台的体积为：，故选：B.6.已知P为抛物线上的一动点，过P作y轴的垂线，垂足为B，点Q是圆上的一动点，则的最小值为（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】抛物线的焦点为F1,0,圆心,半径，连接,由抛物线定义可得,故，当且仅当三点共线，且在之间时取等号，故选：D7.已知函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象上存在关于轴对称的点，则与，在有交点，即在有解，可转化为在有解，令，，则，故函数在上单调递增，，且时，，所以，则，又恒成立，即，，则，.故选：D.8.在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（）A.椭圆的对称轴为 B.的最大值为C.椭圆的离心率为 D.n的最大值为【答案】C【解析】设是椭圆上任意一点，则关于对称的点为，关于对称的点为，由可得和均在曲线上，故椭圆的对称轴为，故A正确；对于B，，则，故，当且仅当取等号，故B正确；对于C，由A可知：是的两条对称轴，令，则，解得，令，则，解得，故长半轴轴长，短半轴长，故离心率为，故C错误；对于D，由可将其看作是关于的方程，且该方程有实数根，故，故，因此n的最大值为，故D正确；故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则中至少有一个为0C.D.若，则【答案】BCD【解析】对于A,若，满足，但，故A错误，对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确，对于C，，C正确，对于D，设，,故故，，故D正确，故选：BCD10.已知函数，则下列选项正确的是（）A.的图象关于点对称 B.是的极大值点C.在处的切线方程为 D.在区间上单调递增【答案】AC【解析】A：，即，所以的图象关于点对称，A对；B：由，令，则，即且，令，则，即且，显然时，上递减，上递增，故是的极小值点，B错；C：由B分析知，又，易知在处的切线方程为，C对；D：由B分析知，区间中，在上递增，在上递减，D错.故选：AC11.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（）A.事件与事件互斥 B.事件与事件B相互独立C. D.【答案】ACD【解析】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确；，，故C正确；所以，，所以，则，所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______．【答案】【解析】由得：,由得：,所以，,所以.故答案为：13.设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．【答案】2【解析】不妨设在第一象限，则点也在第一象限，设，，因为，所以，故，，又，故，解得，由双曲线定义得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，将代入中，得，解得，所以的离心率为.故答案为：214.某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是__________号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是__________．【答案】①.64②.126【解析】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号，第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号，第三次报数后向前一步原编号为，为第四次报数时的新编号，第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号，第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号，显然第六次报数时向前一步的编号为，因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为，所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为.故答案为：64；126四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，面积为，已知（1）求；（2）若边上的高为1且，求的面积．解：（1）且即由正弦定理得∵在中，，即．（2），由正弦定理得在中，作于点为边上的高，即设为上的四等分点，中，中，且．16.已知函数．（1）已知在处取得极小值，求a的值；（2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1）因为，定义域为所以因为在取得极小值，所以，所以，检验：，定义域为，，x3-0+↓极小值↑所以；（2）因为对恒成立所以令①即时，恒成立，在单调递增恒成立，②即时，，x1-0+0↓极小值↑所以，与题意不符，舍去，综上所述：．17.记为数列的前项和，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和；（3）数列的前n项