2025届河北省保定市高中高三上学期1月调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市高中2025届高三上学期1月调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以，又全集，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：C.2.已知复数，为的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.3.函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的图象向左平移个单位得到y=fx所以.故选：D4.l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，若，，则“l//m”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，显然有l//m，而与相交，即l//m不能推出；长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，显然有，而l与m是异面直线，即不能推出l//m，所以“l//m”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D5.在等比数列中，已知，则（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】由题意可得公比不为1，则，，因为为等比数列，所以也为等比数列，所以，解得.故选：C.6.已知，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为余弦函数在上为减函数，且，则，即，对数函数为增函数，则，即，又因为，故.故选：B.7.已知函数，则的图象（）A.关于直线对称 B.关于点对称C.关于直线对称 D.关于原点对称【答案】B【解析】函数，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.8.已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线在第一象限相切于点，记抛物线的焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，∵点在准线上，∴即，抛物线的方程为，即，设点坐标为，，对求导可得，，∴直线AB的斜率为，由、，可知，解之得，或（舍负），∴点，由抛物线的定义可知，，故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系中正确的有（）A.丙图中平均数大于中位数B.乙图中平均数大于中位数C.甲图中平均数和中位数应该大体上差不多D.乙图中平均数小于中位数【答案】BC【解析】对于甲图，频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多，因此C正确；对于乙图，频率分布直方图右侧拖尾，那么平均数大于中位数，因此B正确，D错误；对于丙图，频率分布直方图左侧拖尾，那么平均数小于中位数，因此A错误.故选：BC.10.已知数列满足，，，为其前项和，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】在数列中，，，当时，，则，对任意的，由可得，上述两个等式作差可得，对于A选项，，A对；对于B选项，，可得，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，因此，D对.故选：ACD11.已知函数，其中存在三个零点，且，则下列结论中正确的是（）A.B.C.的取值范围为D.若成等差数列，则【答案】ABD【解析】由得，即，即，令，则为直线a和函数图象的交点的横坐标；的定义域为，且，故为奇函数；又当x>0时，，，故当时，>0，单调递增；当时，，单调递减；故在时取得极大值，且，，作的图象如下所示：对AB：数形结合可知，，故，故A正确，B正确；对C：若使得与有个交点，则，解得，故C错误；对D：若成等差数列，则，即，即，即，又，则，即，，也即，又，故，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知向量，则__________.【答案】【解析】由题意可得，所以，所以.故答案为：.13.随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在次选择后，选出的个数的乘积能被整除的概率为__________.【答案】【解析】随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，选择次，每次都有种结果，共种结果，若选出的个数的乘积能被整除，则其中有一次选择的数为，另一次选择的数为偶数，则不同的选择结果有种，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为.故答案为：.14.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与该双曲线的左，右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】设则，设线段的中点为M，连接得垂直平分，则根据题意得，故，故，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1），切点坐标为，，即，解得，.（2），定义域为，得或，得或得；的单调递增区间为，单调递减区间为；的极大值为的极小值为.16.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的周长.解：（1）在中，由正弦定理得，又因为，所以，所以，化简得，又因，所以.（2）在中，由正弦定理得，，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以，所以周长为.17.如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面.（1）求证：；（2）若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积.（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得，又，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，，又，平面，平面平面，.（2）解：如图，取的中点的中点，连接，由题意可得，平面平面平面平面，平面，平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令得，又平面平面的一个法向量，，令，解得或（舍）.即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，平面，且，到平面的距离为，又四边形的面积为3，四棱锥的体积.18.已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点.（1）求椭圆的方程；（2）求弦长的最大值；（3）已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程.（1）解：由得，又，由在椭圆E:x2a椭圆的方程为.（2）解：设，，其中，当时，取得最大值，最大值为.（3）证明：由知三点共线，且直线斜率存在且不为0，所以设直线方程为，，恒成立，，直线，令得，同理，，，，点在定直线上.19.已知有穷数列共有项（其中且），集合且，其中、、均为小于等于的正整数.（1）若，数列各项依次为、、、、，请写出集合中所有的元素；（2）若，且数列为单调递增数列，从集合中任取一个元素，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；（3）若数列为公差大于的等差数列，从集合中任取一个元素，定义事件“”，求事件发生的概率（结果用表示）.解：（1）根据题意，集合中所有的元素为：、、、、.（2）由题意可知集合中元素个数为个，随机变量的可能取值为、、、，，，，，所以随机变量的分布列为期望.（3）由题意知事件可等价于其角标成等差即满足，集合中元素个数为个，且.①为偶数时，、、、、时，集合中满足的元素个数依次为、、、、个，、、、、时，集合中满足的元素个数依次为、、、、个，所以此时事件包含的基本事件个数总共有个，所以；②为奇数时，、、、、时，集合中满足的元素个数依次为、、、、个，、、、、时，集合中满足的元素个数依次为、、、、个，所以此时事件包含的基本事件个数总共有个所以.综上.河北省保定市高中2025届高三上学期1月调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以，又全集，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：C.2.已知复数，为的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，.故选：A.3.函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的图象向左平移个单位得到y=fx所以.故选：D4.l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，若，，则“l//m”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，显然有l//m，而与相交，即l//m不能推出；长方体中，平面ABCD，平面分别视为平面，，直线，分别为直线l，m，显然有，而l与m是异面直线，即不能推出l//m，所以“l//m”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D5.在等比数列中，已知，则（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】由题意可得公比不为1，则，，因为为等比数列，所以也为等比数列，所以，解得.故选：C.6.已知，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为余弦函数在上为减函数，且，则，即，对数函数为增函数，则，即，又因为，故.故选：B.7.已知函数，则的图象（）A.关于直线对称 B.关于点对称C.关于直线对称 D.关于原点对称【答案】B【解析】函数，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.8.已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线在第一象限相切于点，记抛物线的焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，∵点在准线上，∴即，抛物线的方程为，即，设点坐标为，，对求导可得，，∴直线AB的斜率为，由、，可知，解之得，或（舍负），∴点，由抛物线的定义可知，，故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小关系中正确的有（）A.丙图中平均数大于中位数B.乙图中平均数大于中位数C.甲图中平均数和中位数应该大体上差不多D.乙图中平均数小于中位数【答案】BC【解析】对于甲图，频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多，因此C正确；对于乙图，频率分布直方图右侧拖尾，那么平均数大于中位数，因此B正确，D错误；对于丙图，频率分布直方图左侧拖尾，那么平均数小于中位数，因此A错误.故选：BC.10.已知数列满足，，，为其前项和，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】在数列中，，，当时，，则，对任意的，由可得，上述两个等式作差可得，对于A选项，，A对；对于B选项，，可得，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，因此，D对.故选：ACD11.已知函数，其中存在三个零点，且，则下列结论中正确的是（）A.B.C.的取值范围为D.若成等差数列，则【答案】ABD【解析】由得，即，即，令，则为直线a和函数图象的交点的横坐标；的定义域为，且，故为奇函数；又当x>0时，，，故当时，>0，单调递增；当时，，单调递减；故在时取得极大值，且，，作的图象如下所示：对AB：数形结合可知，，故，故A正确，B正确；对C：若使得与有个交点，则，解得，故C错误；对D：若成等差数列，则，即，即，即，又，则，即，，也即，又，故，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知向量，则__________.【答案】【解析】由题意可得，所以，所以.故答案为：.13.随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在次选择后，选出的个数的乘积能被整除的概率为__________.【答案】【解析】随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，选择次，每次都有种结果，共种结果，若选出的个数的乘积能被整除，则其中有一次选择的数为，另一次选择的数为偶数，则不同的选择结果有种，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为.故答案为：.14.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与该双曲线的左，右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】设则，设线段的中点为M，连接得垂直平分，则根据题意得，故，故，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1），切点坐标为，，即，解得，.（2），定义域为，得或，得或得；的单调递增区间为，单调递减区间为；的极大值为的极小值为.16.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的周长.解：（1）在中，由正弦定理得，又因为，所以，所以，化简得，又因，所以.（2）在中，由正弦定理得，，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以，所以周长为.17.如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面.（1）求证：；（2）若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积.（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得，又，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，，又，平面，平面平面，.（2）解：如图，取的中点的中点，连接，由题意可得，平面平面平面平面，平面，平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，令得，又平面平面的一个法向量，，令，解得或（舍）.即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，平面，且，到平面的距离为，又四边形的面积为3，四棱锥的