《一元二次方程》参考教案

《一元二次方程》参考教案第一篇：《一元二次方程》参考教案21.1一元二次方程教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识．数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、范例点击例1将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得03x23x5x1，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x28x100．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．【活动方略】学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念．例2猜测方程x2x560的解是什么？【活动方略】学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、反馈练习课本P4练习1、2题补充习题：1．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）x2360；【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.五、应用拓展例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例4：有人解这样一个方程(x5)(x1)7．解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？由(x5)(x1)7得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．【活动方略】教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。【设计意图】使学生进一步理解一元二次方程的概念，对一元二次方程的根有更深刻的理解.（2）4x290．作业：第二篇：一元二次方程一元二次方程（英文名：quadraticequationofoneunknown）是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax²+bx+c=0（a≠0），其中，ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。a≠0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。一元二次方程最常规的解法是求根公式法，其外亦有因式分解法和配方法等方法。第三篇：一元二次方程一元二次方程知识点归纳：1.一元二次方程的概念及其一般形式。2.熟练掌握一元二次方程的四种解法。3.一元二次方程根的判别式及其应用。4.一元二次方程的应用。5.探索根与系数的关系一．一元二次方程1.在整式方程中，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的标准形式：ax2bxc0(a0,b,c为任意常数)例1：已知方程（1）2x230；（2）11121yy10；（3）2x123（4）ay2byc0；（5）(x1)(x3)x25；（6）xx20。其中，是整式方程的有_______,是一元二次方程的有________________二．一元二次方程的解法（1）认识形如x2a(a0)或(axb)2c(a0,c0)类型的方程，并会用直接开平方去解。解法一：直接开平方。若一个方程可以转化为(xh)2k(k0)就可以用直接开平方求解。例1：用直接开平方求解下列一元二次方程。（1）x290（2）9y210（3）2x250例2：解关于x的方程4(xa)2b(b0)例3：若关于x的一元二次方程m(xa)2n0无实数根，则m与n的关系为__________（2）正确理解并会运用配方法将形如x2pxq0的方程变形为(xm)2n(n0)的类型解法二：配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数到方程的右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次系数的一半的平方；（4）写成(xm)2n的形式，再用直接开平方法求解。例1：填空（1）x26x____(x__)22（2）x25x_____(x_____)（3）x2px___(x___)2例2：用配方法解方程6x32x2例3：试用配方法证明，代数式2x2x3的值不小于238（3）掌握一元二次方程求根公式的推导方法，会用公式法求一元二次方程的根。解法三：公式法bb24ac21.axbxc0(a0)的求根公式为x(b4ac0)2a22.若b24ac0，则方程无实根，不必用求根公式。例1：用公式法解下列方程（1）2x234x；（2）x23x30例2：用公式法解下列方程：（1）14x235x70(2)x2x0若原方程系数中含有公约数，一般先约公约数，再解方程。若各项系数有小数或分数，通常先化成整数，再解方程。（4）理解用因式分解解一元二次方程，会用因式分解解某些一元二次方程。ab=0a=0或b=0解法四：因式分解例1：用因式分解解下列一元二次方程（1）x23x100（2）(x3)(x1)5（3）3x(1x)2x2（4）(2x1)22(2x1)30347214三．一元二次方程根的判别式理解一元二次方程的根的判别式，能用根的判别式判定根的情况一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac0方程有两个不相等的实根0方程有两个相等的实根0方程没有实数根例1：对于一元二次方程2x25x30下列说法正确的是（）A.方程无实根B.方程有一个根为0C.方程有两个相等的实根D.方程有两个不等的实根例2：方程x22xk0没有实数根，则k=___________例3：已知m,判定方程x2(2m3)x(m1)20的根的情况。1四．用一元二次方程解决问题会列方程解决实际的问题。解决方程的一般步骤：（1）分析，找等量关系；（2)设未知数，列方程；（3）解方程；（4）验根；（5)写出答案例1：有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。例2：两个相邻的自然数的平方和比这两个数之中的较小数的2倍大51，求这两个自然数。五：探索根与系数的关系1.解下列方程，你发现发现方程的两根之和，两根之积与系数a,b,c的关系。（1）x22x0（2）x25x60（3）x23x40（4）ax2bxc0(a0,b24ac0)结论：韦达定理：两根之和：x1x2两根之积：x1x2逆命题也成立。例1：若x1,x2是方程x22x10的两根，那么x1x2的值为例2：设,是方程x23x50的两根，不解方程，求2223的值。例3：已知：设关于x的方程x2(4k1)x2k10(1)求证该方程一定有两个不相等的实数根；caba(2)若x1,x2是方程的两个实数根，且(x12)(x22)2k3，求k的值。本节课总结：对于一元二次方程，有直接开方法，时，配方法，因式分解法，公式法四种解法。当判别式△＝其求根公式为：二次方程无实数根。当△≥0时，则两根的关系为：；；当判别式△＝b24ac0时，一元，根与系数的这，种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当时，那么则是的两根。第四篇：一元二次方程二、一元二次方程1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。2、一元二次方程的解法：（1）直接开平方法（2）因式分解法（十字相乘法）（3）公式法x=(b2-4ac(4)配方法（重点见P32）3、一元二次方程根的判别式（2-4ac）当a时(1)＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）=0时方程有两不相等的实数根；（3）＜0时方程没有实数根4、一元二次方程根与系数关系（韦达定理）：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a当≥0时，设方程两根为x1,x2则x1+x2＝－，x1x2=如==……5、以x1,x2为根的一元二次方程为：三、二次函数2、抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，当时，开口向上，当时，开口向下。四、图形的全等1、能够完全重合的两个图形就是全等图形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2、全等图形的对应边相等，对应角相等。3、全等三角形的识别（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记（边边边或SSS）(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这个三角形全等。简记为（边角边SAS）（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（角边角ASA）（4）如果两个三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。简记为（HL）4、能判断正确或是错误的句子叫做命题，命题常写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。能判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。有些命题可以从公理或其它真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。根据题设，定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。第五篇：关于一元二次方程教案关于一元二次方程教案大全一元二次方程是初中数学的主要内容，在初中代数中占重要地位。学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。在教学中渗透类比化归等数学思想，让学生充分观察、体验，同时营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣并渗透环保内容。以下是东星资源网小编整理的关于一元二次方程教案，欢迎查阅！一元二次方程教案1启发探究，获取新知上面的三个方程这两个方程是一元一次方程吗?它们与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）（2）（3）（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程。因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。【设计意图】通过上述情景分析，让学生小组合作，列出方程。在学生列出方程后，对所列方程进行整理，并引导学生分析所列方程的特征得出一元二次方程的概念。由于一元二次方程的概念是本节的重点，所以在形成概念的过程中主要引导学生积极主动进行自我尝试、自我分析、自我修正、自我反思，让学生真正理解一元二次方程概念的内涵：（1）是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2。（三）例题解析，练习反馈例题解析（投影展示）例1：下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。例2.将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项说明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。例3：已知关于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x-2=0（1）当k取何值时此方程为一元一次方程?（2）当k取何值时此方程为一元二次方程?并写出该一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项。（同学先讨论，同桌交流再进行归纳）【设计意图】通过例题，使学生巩固一元二次方程的概念，把握概念的实质。练习反馈1、课本第32页1、2、以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条件的不同的一元二次方程?【设计意图】开放题可以使学生开阔思维，进一步巩固概念。（四）小结归纳，上升理性引导学生从以下3个方面进行小结，（1）本节课我们学习了哪些知识?（2）学习过程中用了哪些数学方法?（3）确定一元二次方程的项及系数时要注意什么?【设计意图】主要由学生进行总结和互相补充，以培养学生的归纳概括能力。（五）作业布置1、教材P34习题22.12、选用作业设计。板书设计一元二次方程教案2教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型.2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；整理化简上述三个方程.。2、你发现上述三个方程有什么共同特点?你能把这些特点用一个方程概括出来吗?3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点?你还掌握了什么?二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）1、下列哪些是一元二次方程?哪些不是?①②③④x2+2x-3=1+x2⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）3-6x2=0（2）3x（x+2）=4（x-1）+7（3）（2x+3）2=（x+1）（4x-1）3、若关于x的方程（k-3）x2+2x-1=0是一元二次方程，则k的值是多少?4、关于x的方程（k2-1）x2+2（k+1）x+2k+2=0，在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程?三、总结反思：（学生总结，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么?四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。3、关于x的方程（m2-4）x2+（m+2）x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程；当m__________时，是一元一次方程.作业：必做题：习题7.1选做题：（挑战自我）p41随堂练习1、已知关于的方程是一元二次方程，则为何值?2、.当m为何值时，方程（m+1）x+1+27mx+5=0是关x于的一元二次方程?3、关于的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根为，则的值多少?4、某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案（如图），根据两种设计方案各列出方程，求图中道路的宽分别是多少，使图（1），（2）的草坪面积为540米2.?（1）（2）板书设计：一元二次方程定义：一个未知数整式方程可以化为一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）二次项一次项常数项系数为a系数为b教学反思这次我参加了区里组织的优质课比赛，这次的优质课采用市里要求的1/3模式，这对于我们来说具有一定的.挑战性。所谓“1/3模式”，就是把课堂教学时间大致分为3个部分，1/3的时间个人自主学习，1/3的时间小组合作学习，1/3的时间全班交流讨论。在1/3模式中，整个教学过程由教师和学生共同参与，每个环节1/3的时间只是大致的划分，可根据学习内容灵活安排。这就对教师提出了较高的要求。首先要准备好学案。学案就是学生学习的依据。在学案里，教师要提出明确的学习要求。学习要求可包括以下方面：完成学习任务的时间、学习内容的范围、完成学习任务所要达到的程度、自主学习成果展现的形式等。这就要求教师要提前考虑周全，对于学生学习的要求要一次性提出，内容上有梯度。学生自主学习时，教师要深入学生当中，观察学生的学习状况，检查学习任务完成的情况，提供有针对性的指导和帮助教师对自主学习方法和途径的指导要适度，既要满足学生完成学习任务的需要，又不能挤占学生自主探究的空间其次，学习氛围是合作学习成功的关键之一，教师要营造安全的心理环境、充裕的时空环境、热情的帮助环境、真诚的激励环境，只就要求教师在语言上也要有较高水平，会发动学生，会调动学生的积极性，让课堂气氛活跃起来，让学生充分发挥自己的水平。再是，由于课堂上主要是以学生为主。这就要求教师尽量少讲，要充当好组织者、引导者、倾听者的角色，不要急于发表自己的观点，只要学生能讲的教师就不要讲，要避免因为教师呈现自己的观点而打破学生的讨论。学生说完的东西，如果没有问题，教师就不要重复。教师对学习内容要点的讲解要有的放矢，能起到画龙点睛的作用。要在学生原有的水平上进行提升，有助于学生加深对知识的理解。我们只有在教学中不断的学习，不断的改进自己，才能保证我们的课堂很精彩，是名副其实的优质课。一元二次方程教案3一元二次方程的概念教材分析：1.本节以生活中的实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，让学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。本节内容是在前面所学方程、一元一次方程、整式、方程的解的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。2.这些概念是全章后继内容的基础。3.让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。学情分析：1.授课班级学生基础较差，学生成绩参差不齐，差生较多。教学中应给予充分思考的时间，注意讲练结合，以学生为本，体现生本课堂的理念。2.该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，从而充分调动学生主动性和积极性，使课堂气氛活跃，让学生在愉快的环境中学习。3.作为该班的班主任，同时又担任该班的数学教学，对学生学习情况有比较深入地了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法，着重加强对学生的双基训练。教学目标：一知识与技能:1.理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是一元二次方程。2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.二过程与方法：1.引导学生分析实际问题中的数量关系，组织学生讨论，让学生类比、抽象出一元二次方程的概念。2.培养独立思考，合作交流学，分析问题，