2023-2024学年山东省潍坊市高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】由.故选：C.2.设空间向量，，若，则实数k的值为（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】由题意，解得．故选：A．3.已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（）A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直【答案】B【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B．4.如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，因为，，，点在上，且，所以.故选：A5.月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F0,1，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则，故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得，将代入半圆，解得，故，然，故选：D6.有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】B【解析】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，不同分法种数为．故选：B．7.若圆与圆相交，则实数m取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，两圆半径分别为，，而两圆相交，则，解得．故选：D．8.如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（）A.6 B.10 C. D.【答案】C【解析】由图得：，又由题意知：，所以，所以，所以的长为，故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，点，则（）A.过点A与l平行的直线的方程为B.点A关于对称的点的坐标为C.点A到直线l的距离为D.过点A与l垂直的直线的方程为【答案】ACD【解析】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确；关于的对称点坐标为，B错；到直线的距离为，C正确；与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确．故选：ACD．10.若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，B错误；对于C，由，得，因此，C正确；对于D，，D错误.故选：AC11.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A与D相互独立. B.A与B相互独立C.B与D相互独立 D.A与C相互独立【答案】BCD【解析】不放回依次取出两个，基本事件有，共种，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，则，，，，，，，所以，所以A与D不相互独立；，所以A与B相互独立；，所以B与D相互独立；，所以A与C相互独立；故选：BCD12.已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（）A.的周长为6 B.A，，三点共线C.A，两点间的最短距离为2 D.【答案】ABD【解析】设椭圆长轴长，短轴长，焦距，则由椭圆方程可知，如图：因为A在椭圆上，所以，，所以的周长为，故A正确；对B：设点的坐标为，Ax1,y1由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在.所以过A点的切线方程可设为：，联立方程组：，消去得：，由得：，整理得：，因为：，，所以：,即.所以过点A的切线为：.又切线过点，所以.同理：.故A，两点都在直线上，而点1,0也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确；对C：若直线无斜率，则,若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：y=kx-1,联立方程组：y=kx-1x24+整理得：3+4k则，，所以，所以：.综上：.故C错误；对D：设过点的切线方程为：，联立方程组：，消去得：，由得：，整理得：，不妨设，则，易知，且均为锐角，故，所以，故D正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13.展开式中的常数项为______．【答案】160【解析】二项式的展开式的通项公式，令，可得，所以展开式中的常数项为.故答案为：160.14.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.【答案】【解析】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：.故答案为：15.已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______.【答案】8【解析】由题意抛物线的准线的方程是，过作于，则，所以当且仅当三点共线时，取得最小值，所以的最小值是8.故答案为：8.16.在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为______，直线与BH所成角的范围为______.【答案】2；【解析】如图，连接，因为，，所以，所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上，过作于点，则，其中的长即为到平面的距离．所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为，以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，取的一个方向向量为，，又，所以，所以直线与所成角的范围是，即，故答案为：；．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，在棱长为1的正方体中，点E是的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）在正方体中，四边形是其对角面，则，平面，平面，于是平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，又平面，所以平面.（2）以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，显然平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.如图,已知抛物线的焦点为F,点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点（1）求C的方程；（2）求的面积.解：（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且，所以焦点到准线的距离为2，即，所以抛物线的方程为.（2）由（1）可得，F1,0，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即的方程为，联立可得，所以所以，又点到直线AB的距离，所以的面积.19.现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.（1）求这个零件是次品概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.解：（1）记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，记事件：这个零件是次品，由题意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为.20.已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.（1）求的离心率及其渐近线方程；（2）设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.解：（1）由题意，把，代入双曲线得：，解得，，，所以双曲线的方程为，故离心率，渐近线方程为；（2）由题意得，一定存在且，，，，，则，又点的坐标满足，则，故，所以.21.如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，,M是棱PC上的点，且,.（1）求证：平面PAD；（2）设二面角的大小为，若，求的值.解：（1）因为，，所以，，在中，，，由余弦定理得，，所以，即，，取的中点，连结，因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面PAD，所以平面，又因为平面，所以.又因为，，平面，所以平面.（2）取的中点N，连结，则，所以，以为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，又，设平面MBD的一个法向量为n=x,y,z则即，当时，平面平面，不合题意；当时，令，得平面的法向量为，易知平面的一个法向量为，由于平面与平面所成角的余弦值为，故有，解得或.22.如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点,与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点,使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.解：（1）因为，所以，所以，半径，因为线段的中垂线交线段于点，所以，所以，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，所以，，，故曲线E的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，与y轴不相交，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，设，，由消去y整理得，恒成立，所以，又因为直线与y轴的交点为C，所以，所以，，，，又因为，所以，同理，所以，且，所以，整理后得，所以为定值，原题得证.（3）设，显然的斜率存在，，，设的方程是，由消去y得，则，即，由韦达定理得，根据已知，可得，即，又，，代入上式整理得，则或，当时，直线的方程为，所以直线经过定点，当时，直线的方程为，所以直线经过定点2,1与M重合，舍去，故直线经过定点，又因为，所以D在以线段MK为直径的圆上.所以F为线段MK的中点，即，所以为定值.山东省潍坊市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】由.故选：C.2.设空间向量，，若，则实数k的值为（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】由题意，解得．故选：A．3.已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（）A.平行 B.相交且垂直 C.重合 D.相交且不垂直【答案】B【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B．4.如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面体中，因为，，，点在上，且，所以.故选：A5.月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F0,1，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则，故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得，将代入半圆，解得，故，然，故选：D6.有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】B【解析】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，不同分法种数为．故选：B．7.若圆与圆相交，则实数m取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，两圆半径分别为，，而两圆相交，则，解得．故选：D．8.如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（）A.6 B.10 C. D.【答案】C【解析】由图得：，又由题意知：，所以，所以，所以的长为，故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，点，则（）A.过点A与l平行的直线的方程为B.点A关于对称的点的坐标为C.点A到直线l的距离为D.过点A与l垂直的直线的方程为【答案】ACD【解析】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确；关于的对称点坐标为，B错；到直线的距离为，C正确；与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确．故选：ACD．10.若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，B错误；对于C，由，得，因此，C正确；对于D，，D错误.故选：AC11.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A与D相互独立. B.A与B相互独立C.B与D相互独立 D.A与C相互独立【答案】BCD【解析】不放回依次取出两个，基本事件有，共种，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，则，，，，，，，所以，所以A与D不相互独立；，所以A与B相互独立；，所以B与D相互独立；，所以A与C相互独立；故选：BCD12.已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（）A.的周长为6 B.A，，三点共线C.A，两点间的最短距离为2 D.【答案】ABD【解析】设椭圆长轴长，短轴长，焦距，则由椭圆方程可知，如图：因为A在椭圆上，所以，，所以的周长为，故A正确；对B：设点的坐标为，Ax1,y1由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在.所以过A点的切线方程可设为：，联立方程组：，消去得：，由得：，整理得：，因为：，，所以：,即.所以过点A的切线为：.又切线过点，所以.同理：.故A，两点都在直线上，而点1,0也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确；对C：若直线无斜率，则,若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：y=kx-1,联立方程组：y=kx-1x24+整理得：3+4k则，，所以，所以：.综上：.故C错误；对D：设过点的切线方程为：，联立方程组：，消去得：，由得：，整理得：，不妨设，则，易知，且均为锐角，故，所以，故D正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13.展开式中的常数项为______．【答案】160【解析】二项式的展开式的通项公式，令，可得，所以展开式中的常数项为.故答案为：160.14.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.【答案】【解析】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：.故答案为：15.已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______.【答案】8【解析】由题意抛物线的准线的方程是，过作于，则，所以当且仅当三点共线时，取得最小值，所以的最小值是8.故答案为：8.16.在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为______，直线与BH所成角的范围为______.【答案】2；【解析】如图，连接，因为，，所以，所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上，过作于点，则，其中的长即为到平面的距离．所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为，以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，取的一个方向向量为，，又，所以，所以直线与所成角的范围是，即，故答案为：；．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，在棱长为1的正方体中，点E是的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）在正方体中，四边形是其对角面，则，平面，平面，于是平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，又平面，所以平面.（2）以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，显然平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.如图,已知抛物线的焦点为F,点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点（1）求C的方程；（2）求的面积.解：（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且，所以焦点到准线的距离为2，即，所以抛物线的方程为.（2）由（1）可得，F1,0，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即的方程为，联立可得，所以所以，又点到直线AB的距离，所以的面积.19.现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.（1）求这个零件是次品概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.解：（1）记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，记事件：这个零件是次品，由题意可得，，，，由全概率公式可得：.（2）由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为.20.已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.（1）求的离心率及其渐近线方程；（2）设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.解：（1）由题意，把，代入双曲线得：，解得，，，所以双曲线的方