2023-2024学年河北省邢台市部分重点高中高二上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市部分重点高中2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由双曲线可得，，所以渐近线方程为.故选：B.2.已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，数列，可化为，所以数列一个通项公式为，所以该数列的第10项是.故选：D.3.等差数列的前项和为，公差，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，则.故选：D.4.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，解得，则，，所以直线的斜率为．故选：D5.现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，则该等比数列的前项和.由，得，得.故选：B.6.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含，所以PQ的最小值为.故选：C.7.在等比数列中，是方程的两个实根，则（）A.-5 B.±5 C.5 D.25【答案】A【解析】由题意得，得，则.由，得.故选：A.8.已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（）A.9 B. C. D.8【答案】B【解析】设，则，所以因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A、B正确；因为，所以公差.故C错误，D正确.故选：ABD10.已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中点，连接，如图，则.由，得，则，所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.故选：CD.11.已知数列的前项和为，则（）A.B.为等比数列C.D.【答案】ACD【解析】选项A，由题意得，A正确；选项B，将两边同时除以，得，即，则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；选项C，由，得，所以①，则②，①-②得，，，即，则，C正确；选项D，因为，所以，D正确.故选：ACD.12.已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】由，得．因为点Mx1,y1所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．故选：CD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和为，且，则__________.【答案】4【解析】由题意得.故答案为：414.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）【解析】由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.15.已知等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】46【解析】由等差数列的性质可知成等差数列，即1，8，成等差数列，且公差为，所以，得.故答案为：.16.已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.【答案】；1024【解析】由题意得，则，得.因为，所以.易得，则，所以.当时，，当时，，所以.故答案为：；四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，公比.（1）求；（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.解：（1）由，得，所以.（2）设这5个数组成的等差数列为，则，，得该数列的公差，所以，，.因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.18.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.（1）求的方程；（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.解：（1）由题意可得，得，所以的方程为.（2）由题意得.设，，依题意可得，且，由得，则，解得.经检验，点在椭圆内.所以为所求.19.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，由，①得，②①-②得，即，经检验，也符合，所以；（2）由题意得，所以.20.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.（1）求的离心率；（2）若直线与交于两点，且，求.解：（1）由题意，设，由双曲线经过两点，得，得，即，则，所以的离心率为.（2）设，由，得，依题意可得，且，即.由韦达定理得，所以，整理得，解得或.21.已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.（1）设，证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式.解：（1）当时，线段的中点为，，则.由得，所以，即.因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，则，，…，，将以上各式相加得.因为，所以.当时，也符合上式，故.22.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.解：（1）抛物线焦点，设，由消去x得，则，，由点F是的重心，得，则，而点C在上，于是，又，所以.（2）当时，的方程为，设，，，当AB,AC的斜率均存在时，直线的斜率，同理得直线的斜率，直线的斜率，直线AB的方程为，化简得.而直线AB过点，即，显然，则，又，即，于是，整理得，直线AC的方程为，化简得，将代入，得，令，得，直线AC过定点，设线段ME的中点为G，则G的坐标为，因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，因为，所以D的轨迹方程为（且）；当直线的斜率不存在时，，，，解得，不合题意；当直线AB的斜率不存在时，，则或，经检验直线AC过定点；所以D轨迹方程为（且）河北省邢台市部分重点高中2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由双曲线可得，，所以渐近线方程为.故选：B.2.已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，数列，可化为，所以数列一个通项公式为，所以该数列的第10项是.故选：D.3.等差数列的前项和为，公差，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，则.故选：D.4.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，解得，则，，所以直线的斜率为．故选：D5.现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，则该等比数列的前项和.由，得，得.故选：B.6.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含，所以PQ的最小值为.故选：C.7.在等比数列中，是方程的两个实根，则（）A.-5 B.±5 C.5 D.25【答案】A【解析】由题意得，得，则.由，得.故选：A.8.已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（）A.9 B. C. D.8【答案】B【解析】设，则，所以因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A、B正确；因为，所以公差.故C错误，D正确.故选：ABD10.已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中点，连接，如图，则.由，得，则，所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.故选：CD.11.已知数列的前项和为，则（）A.B.为等比数列C.D.【答案】ACD【解析】选项A，由题意得，A正确；选项B，将两边同时除以，得，即，则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；选项C，由，得，所以①，则②，①-②得，，，即，则，C正确；选项D，因为，所以，D正确.故选：ACD.12.已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】由，得．因为点Mx1,y1所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．故选：CD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和为，且，则__________.【答案】4【解析】由题意得.故答案为：414.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）【解析】由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.15.已知等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】46【解析】由等差数列的性质可知成等差数列，即1，8，成等差数列，且公差为，所以，得.故答案为：.16.已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.【答案】；1024【解析】由题意得，则，得.因为，所以.易得，则，所以.当时，，当时，，所以.故答案为：；四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，公比.（1）求；（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.解：（1）由，得，所以.（2）设这5个数组成的等差数列为，则，，得该数列的公差，所以，，.因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.18.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.（1）求的方程；（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.解：（1）由题意可得，得，所以的方程为.（2）由题意得.设，，依题意可得，且，由得，则，解得.经检验，点在椭圆内.所以为所求.19.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，由，①得，②①-②得，即，经检验，也符合，所以；（2）由题意得，所以.20.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.（1）求的离心率；（2）若直线与交于两点，且，求.解：（1）由题意，设，由双曲线经过两点，得，得，即，则，所以的离心率为.（2）设，由，得，依题意可得，且，即.由韦达定理得，所以，整理得，解得或.21.已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.（1）设，证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式.解：（1）当时，线段的中点为，，则.由得，所以，即.因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，则，，…，，将以上各式相加得.因为，所以.当时，也符合上式，故.22.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.解：（1）抛物线焦点，设，