2024-2025学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.3函数模型的应用第1课时用函数模型解决实际问题教学案新人教A版必修第一册

PAGE1-第1课时用函数模型解决实际问题(老师独具内容)课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.会选择合适的函数类型刻画现实问题的改变规律．教学重点：用函数刻画实际问题．教学难点：精确理解题意，理清变量间的关系．【学问导学】学问点函数模型应用的两个方面(1)利用eq\o(□,\s\up1(01))已知函数模型解决问题．(2)建立恰当的eq\o(□,\s\up1(02))函数模型，并利用所得函数模型eq\o(□,\s\up1(03))说明有关现象，对某些发展趋势eq\o(□,\s\up1(04))进行预料．【新知拓展】(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要留意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求依据实际状况求出函数解析式中的参数，或给出详细情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后依据值回答其实际意义．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．()(2)某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，一般自行车0.2元/辆．若该天一般自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的关系为y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000，x∈Z)．()(3)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y＝2x.()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，假如每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为()A．17 B．18C．19 D．20(2)某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.答案(1)C(2)8题型一利用已知函数模型求解实际问题例1一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素养量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解](1)最初的质量为500g.经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，所以t＝eq\f(lg0.5,lg0.9)＝eq\f(－lg2,2lg3－1)≈6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．金版点睛在实际问题中，有许多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再依据解题须要探讨函数性质．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])某城市2009年底人口总数为100万人，假如年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)解(1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；……所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N*.(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＞120，两边取常用对数，得lg[100×(1＋1.2%)x]＞lg120，整理得2＋xlg1.012＞2＋lg1.2，得x≥16，所以大约16年以后，该城市人口将超过120万人.题型二自建函数模型解决实际问题例2渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．[解](1)依据题意知，空闲率是eq\f(m－x,m)，故y关于x的函数关系式是y＝kx·eq\f(m－x,m)，0<x<m.(2)由(1)知，y＝kx·eq\f(m－x,m)＝－eq\f(k,m)x2＋kx＝－eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(mk,4)，0<x<m.则当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(mk,4).所以，鱼群年增长量的最大值为eq\f(mk,4).金版点睛建立数学模型应留意的问题用函数有关的学问建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型肯定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟识实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学学问进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．eq\a\vs4\al([跟踪训练2])一片森林原来面积为a，安排每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年．为爱护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4).已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即，所以eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年起先，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，所以，所以eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()答案A解析设镭的衰变率为a，则(1－a)100＝0.9576，得1－a＝0.9576eq\f(1,100)，则y＝0.9576eq\f(x,100)，故选A．2．有一组试验数据如表所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案B解析依据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内削减了10%，若按此规律，设2024年的湖水量为m，从2024年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为________．答案y＝0.9解析设淡水湖的湖水的年平均改变率为p，则p50＝0.9，∴p＝0.9eq\s\up15(eq\f(1,50)).设2024年的湖水量为m，则经过x年后湖水量y与x的函数关系是y＝m·0.9eq\f(x,50)，即y＝0.9eq\s\up15(eq\f(x,50))4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．答案4解析设至少要洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，解得x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以至少要洗4次．5．某公司制定了一个激励销售人员的嘉奖方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%嘉奖给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)嘉奖给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%嘉奖给该销售员．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出y关于