2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.3古典概型学案新人教B版必修第二册

PAGE1-5．3.3古典概型考点学习目标核心素养基本领件了解基本领件的特点数学抽象古典概型的定义理解古典概型的定义数学抽象古典概型的概率公式会应用古典概型的概率公式解决实际问题数学运算、数学建模问题导学预习教材P102－P107的内容，思索以下问题：1．什么叫基本领件？它有什么特点？2．什么叫古典概率模型？它有什么特点？1．古典概型一般地，假如随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事务(即基本领件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．2．古典概型概率计算公式假设样本空间含有n个样本点，事务C包含m个样本点，则P(C)＝eq\f(m,n)．■名师点拨古典概型的推断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是全部的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：(1)基本领件个数有限，但非等可能．(2)基本领件个数无限，但等可能．(3)基本领件个数无限，也不等可能．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面对上”是基本领件．()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．()(4)一个古典概型的样本点数为n，则每一个样本点出现的概率都是eq\f(1,n).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(2024·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事务A，则从5名同学中任选2人参与社区服务的样本空间为{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中事务A包含的样本点有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故选D.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)解析：选B.样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为eq\f(3,10)，故选B.从甲、乙、丙三人中任选两人参与某项活动，其中“甲被选中”这一事务所含的样本点有________个．解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．答案：2古典概型的推断推断下列试验是不是古典概型：(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，视察颜色后放回，直到取出红球；(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中随意抽取1名担当学生代表；(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．【解】(1)每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球．明显，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即全部可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．(2)从5名同学中随意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事务．因此该试验不是古典概型．eq\a\vs4\al()古典概型的推断方法一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是全部的试验都是古典概型．下列试验中是古典概型的是()A．在相宜的条件下，种下一粒种子，视察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，视察该点落在圆内的位置D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环解析：选B.A项这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型；B项具备“有限性”和“等可能性”；C项，点可以落在圆内任一位置，不具备有限性；D项，因为10环，9环，…，面积各不相同，故命中的概率不同，不具备“等可能性”．古典概型的计算(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)(2)(2024·高考江苏卷)某爱好小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参与活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【解析】(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}．而取出的2支彩笔中含有红色调笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为eq\f(3,10).【答案】(1)C(2)eq\f(3,10)eq\a\vs4\al()求古典概型概率的步骤(1)推断是否为古典概型．(2)求样本空间包含的样本点个数n.(3)算出事务A中包含的样本点个数m.(4)算出事务A的概率，即P(A)＝eq\f(m,n).1．假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成一组勾股数的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，样本空间为{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为eq\f(1,10).故选C.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的样本空间为{(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共10个样本点．选取的2个点的距离不小于该正方形边长的状况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个样本点．故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).古典概型的实际应用已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．(ⅰ)试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；(ⅱ)设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．【解】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)}，共21种抽取结果．(ⅱ)由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种结果．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).eq\a\vs4\al()(1)在建立概率模型时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本领件出现．对于同一个随机试验，可以依据须要(建立概率模型的主观缘由)建立满意我们要求的概率模型．(2)留意验证是否满意古典概型的两个特性，即①有限性；②等可能性．(3)求解时将其转化为互斥事务或对立事务的概率问题．一只口袋里装有形态大小都相同的6个小球，其中2个白球，2个红球，2个黄球，从中随机摸出2个球，试求：(1)2个球都是红球的概率；(2)2个球同色的概率；(3)“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的几倍？解：记两个白球分别为a1，a2；两个红球分别为b1，b2；两个黄球分别为c1，c2，从中随机取2个球的样本空间为{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)}，共15个样本点．(1)2个球都是红球为(b1，b2)共1个样本点，故2个球都是红球的概率P＝eq\f(1,15).(2)2个球同色的有：(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3个样本点，故2个球同色的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(3)恰有一个是白球的有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8个样本点，其概率P＝eq\f(8,15)；2个球都是白球的有(a1，a2)，共1个样本点，其概率P＝eq\f(1,15)，所以“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的8倍．1．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中全部样本点有有限个；②每个事务出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事务A若包含k个样本点，则P(A)＝eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④解析：选B.依据古典概型的特征与公式进行推断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列是古典概型的是()①从6名同学中，选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．A．①②③④ B．①②④C．②③④ D．①③④解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．3．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：选A.从1，2，3，4中任取两个不同数字构成一个两位数共有12种不同取法，其中大于30的为31，32，34，41，42，43共6种．故P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).4．据报道：2024年我国高校毕业生达834万人，创历史新高，就业压力进一步加大．若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．解析：记事务A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事务A仅有(丙，丁，戊)一种可能，所以A的对立事务A的概率为P(A)＝eq\f(1,10)，所以P(A)＝1－P(A)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)[A基础达标]1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各随意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：选C.从A，B中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种状况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故选C.2．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：选A.从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又全部样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝eq\f(1,4).3．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,7) D.eq\f(2,5)解析：选C.A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7).4．把一枚骰子投掷两次，视察出现的点数，记第一次出现的点数为a，其次次出现的点数为b，则方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一个解的概率为()A.eq\f(5,12) B.eq\f(11,12)C.eq\f(5,13) D.eq\f(9,13)解析：选B.点(a，b)取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即eq\f(a,1)≠eq\f(b,2)，即b≠2a，而满意b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一个解的概率为eq\f(33,36)＝eq\f(11,12).5.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).解析：从五个点中任取三个点，构成样本点的总数为n＝10；而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事务A，则A所包含的样本点数为m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________．解析：样本空间为{(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)}，共10个样本点．相差0.3m的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两个样本点，所以P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．某商场实行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，登记编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．解：设“中三等奖”为事务A，“中奖”为事务B，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3)．则中奖概率为P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).9．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq\f(1,3)，停车费多于14元的概率为eq\f(5,12)，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解：(1)设“一次停车不超过1小时”为事务A，“一次停车1到2小时”为事务B，“一次停车2到3小时”为事务C，“一次停车3到4小时”为事务D.由已知得P(B)＝eq\f(1,3)，P(C＋D)＝eq\f(5,12).又事务A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4).所以甲的停车费为6元的概率为eq\f(1,4).(2)易知甲、乙停车时间的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点；而“停车费之和为28元”的样本点有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，所以所求概率为eq\f(3,16).[B实力提升]10．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,9)解析：选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个，符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个，符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).11．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1解析：选B.记3件合格品为a1，a2，a3，2件次品为b1，b2，则任取2件构成的样本空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个样本点．记“恰有1件次品”为事务A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个样本点．故其概率为P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.12．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16上或其内部的概率是________．解析：连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共有36种状况，其中点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16上或其内部的状况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种状况，所以P＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)13．某中学调查了某班全部45名同学参与书法社团和演讲社团的状况，数据如下表：(单位：人)参与书法社团未参与书法社团参与演讲社团85未参与演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参与上述一个社团的概率；(2)在既参与书法社团又参与演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中