2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明课时作业18综合法与分析法新人教A版选修2-2

PAGE1-课时作业18综合法与分析法学问点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案C解析用综合法干脆证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．3．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案综合法解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法.学问点二综合法和分析法的应用4.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.证明要证明eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9，只需证明eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1－a)))≥9，只需证明(a＋1)(2－a)≥9a(1－a)，即证(2a－1)2≥0，∵(2a－1)2≥0成立，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9.5．求证：eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)＜2.证明因为eq\f(1,logba)＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360＜log19361＝2，所以eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)＜2.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要条件．解(1)因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2.因此eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d).故eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的必要条件．②若eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)，则(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)>c＋d＋2eq\r(cd)，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因为|a－b|<|c－d|.故eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充分条件．综上，eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|<|c－d|的充要条件．一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A＞B，只需证②C＜D，这里①是②的()A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件答案D解析因为②⇒①，但①不肯定推出②，故选D.2．A，B为△ABC的内角，“A＞B”是“sinA＞sinB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，又A，B为三角形的内角，∴sinA＞0，sinB＞0，∴sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B.3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B.eq\f(a2＋b2,2)＜ab＜1C.eq\f(a2＋b2,2)＜ab＜1 D．ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2)答案D解析取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2)，则a＋b＝2，这时eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(9,4),2)＝eq\f(5,4)＞1.ab＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4)＜1.∴ab＜1＜eq\f(a2＋b2,2).4．设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为()A．－1B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D．3答案D解析由已知条件，得sinα＝eq\f(sinθ＋cosθ,2)，sin2β＝sinθcosθ.消去θ，得4sin2α＝1＋2sin2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos22β－1－4(2cos22α－1)＝2cos22β－8cos22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos22α＋3＝3，故选D.5．已知a，b，c，d为正实数，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，则()A.eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B.eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)C.eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D．以上均可能答案A解析先取特值检验，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，满意eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B，C不正确．要证eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证eq\f(a,b)<eq\f(c,d).而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可证eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正确．二、填空题6．凸函数的性质定理：假如函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的随意x1，x2，…，xn，有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).已知函数f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，∴eq\f(fA＋fB＋fC,3)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值为eq\f(3\r(3),2).7．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，则正数a，b应满意的条件是________．答案a≠b解析∵aeq\r(a)＋beq\r(b)－(aeq\r(b)＋beq\r(a))＝a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))(a－b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))．∴只要a≠b，就有aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a).8．已知函数y＝x＋eq\f(2a,x)在[3，＋∞]上是增函数，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析若y＝x＋eq\f(2a,x)在[3，＋∞)上是增函数，则y′＝1－eq\f(2a,x2)在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x∈[3，＋∞)时eq\f(2a,x2)≤1恒成立，即2a≤x2，只需2a≤(x2)min＝9，所以a≤eq\f(9,2).三、解答题9．证明函数f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)是奇函数．证明∵eq\r(x2＋1)＞|x|，∴eq\r(x2＋1)＋x＞0恒成立，∴f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)的定义域为R，∴要证函数y＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)是奇函数，只需证f(－x)＝－f(x)，只需证log2(eq\r(x2＋1)－x)＋log2(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，只需证log2[(eq\r(x2＋1)－x)(eq\r(x2＋1)＋x)]＝0，∵(eq\r(x2＋1)－x)(eq\r(x2＋1)＋x)＝x2＋1－x2＝1，而log21＝0，∴上式成立，故函数f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)是奇函数．10．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.解(1)f′(x)＝1＋2ax＋eq\f(b,x).由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，,1＋2a＋b＝2，))解得eq\