高中数学讲义（人教B版2019必修二）第28讲614

6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算TOC\o"13"\h\z\u题型1数乘向量的概念 ②点C在直线AB的内侧（含点0的一侧）的充要条件是x+y<1.题型1数乘向量的概念【方法总结】对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是大小.【例题1】（2022上·河南安阳·高二校考开学考试）若a，b，c是任意三个空间向量，λ∈R，则下列关系式中不成立的是（

）A．a+b=C．a+b+c=【答案】D【分析】根据向量加法的交换律、结合律，对数乘的分配律判断ABC，由向量共线的条件判断D.【详解】对于A，根据向量加法的交换律知a+对于B，根据向量数乘的分配律知λa对于C，根据向量加法的结合律知a+对于D，当a→,b→共线，且b→故选：D【变式11】1．（2022上·辽宁锦州·高一校联考期末）“实数λ=0”是“λaA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“λ=0”与“λa【详解】当λ=0时，λa当λa=0时，此时λ=0不一定成立，例如a所以“λ=0”是“λa故选：A.【变式11】2．（2022下·四川成都·高一校联考期中）对于非零向量a,b，下列选项一定能使A．a=2022b B．a→//b⃑【答案】C【分析】首先判断aa、bb的意义，依题意只需找到满足a与【详解】解：因为aa表示与a同向的单位向量，bb表示与要使aa+bb=则当a=−2022b时a与当a=2022b时a与当a//b时不一定满足a与故选：C【变式11】3．（2023上·高二课时练习）已知λ∈R，则下列命题正确的是（

）A．λa=λaC．λa=λ【答案】C【分析】根据数乘向量的模的意义即可得解.【详解】由数乘向量的模的意义可知λa当λ=0或a=0时，λ故选：C.【变式11】4.（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，a、b是向量，对于命题：①m(a−b③若ma=mb，则a=b

其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若m=0，结论不成立，④中若a=【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中若m=0，a与b没有确定关系，结论不成立，错误；④中若a=故①②两个命题正确．故选：B题型2向量的数乘运算【例题2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简6aA．6a+2bC．−2a−14b【答案】D【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.【详解】根据向量的四则运算可知，6a故选：D【变式21】1．（2022·高一课时练习）若向量a=3i−4j，【答案】−16【分析】根据向量的加减与数乘，可得答案.【详解】13a+2b1==−16i故答案为：−16i【变式21】2.（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向x.(1)31(2)12(3)2x【答案】(1)x(2)x(3)x【分析】根据向量数乘运算求解.【详解】（1）由313x所以x=3（2）由12a−2所以x=（3）由2x−1所以x=−【变式21】3.（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量a，b是否共线：(1)a=3e，(2)a=−2e1−2e2，(3)a=23【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.【分析】用向量共线定理判断.【详解】（1）a=3e，b=−所以a，b共线.（2）a=−2e1所以b=−2a，所以a，（3）因为a=23所以b=2所以a=−所以a，b共线.【变式21】4.（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，那么向量12A．AB B．AC C．BC D．BE【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为四边形ABCD为矩形，E为BC中点，所以EC=所以12故选：B题型3向量共线定理证明点共线问题【例题3】（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量a,b，且AB=a+2A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.【详解】对A，AD=所以AD=3AB，则对B，AC=则不存在任何λ∈R，使得AC=λAB对C，BD=则不存在任何μ∈R，使得BD=μBC对D，AC=则不存在任何t∈R，使得CD=tAC故选:A.【变式31】1.（2023下·山东东营·高一东营市第一中学校考阶段练习）若AB=【答案】A,B,D【分析】根据已知条件结合共线向量定理分析判断即可.【详解】因为BC=−2所以BD=因为AB=22所以AB与BD共线，因为AB与BD有公共端点B，所以A,B,D三点共线.故答案为：A,B,D【变式31】2.（2023上·内蒙古通辽·高一校考阶段练习）已知向量a,b不共线，AB=a+3A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】C【分析】根据向量共线定理进行判断即可.【详解】因为a,b不共线，AB=a+3易得AB,又AC=AB+而BD=故选：C.【变式31】3.（2023下·全国·高一期中）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：PA+A．P在CA上，且CP=2PA B．P在ABC．P在BC上，且BP=2PC D．P点为【答案】A【分析】根据平面向量线性运算求得正确答案.【详解】依题意，PA+PB+PA−AP=−故选：A题型4向量共线定理证明线平行问题【例题4】（多选）（2023下·陕西西安·高一期中）下列命题正确的的有（

）A．(−5)(6B．7(C．若a=m−D．(a−5b【答案】ABC【分析】根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.【详解】解：对于A，(−5)(6a对于B，7(a对于C，因为a=m−n,对于D，因为(a−5b故选：ABC.【变式41】1．（2023·全国·高一随堂练习）已知a=e1+e2，【答案】证明见解析【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明.【详解】因为b=−2所以由共线向量定理知，a与b共线.【变式41】2.（2021上·高二课时练习）证明：如果向量a，b共线，那么向量2a+b【答案】证明见解析【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a，b共线，则存在唯一实数λ，使得b=λ则2a所以向量2a+b【变式41】3.（2020·高一课时练习）已知a=3e1【答案】a,【解析】根据已知条件求出一个实数k，使得a=k【详解】解:a,b共线､理由:∵a=3e1【点睛】本题考查向量共线，掌握向量共线定理是解题关键．【变式41】4.给出下面三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a=③若a=λb，则a其中正确的命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由题意结合平面向量共线的性质,逐项判断即可得解.【详解】若非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行或重合，故①错误；若b=0，a≠0，则向量a与b【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，属于基础题.题型5已知向量共线（平行）求参数◆类型1向量共线【例题51】（2023下·山西运城·高一统考期中）已知向量a，b不共线，且向量λa+b与a+(2λ−1)b方向相同，则实数λA．1 B．−12 C．1或−1【答案】A【分析】利用向量共线定理求解即可【详解】因为向量λa+b所以存在唯一实数k(k>0)，使a+(2λ−1)因为向量a，b不共线，所以kλ=12λ−1=k，解得λ=1k=1或故选：A【变式51】1.（2023下·山东滨州·高一统考期中）已知向量a，b不共线，且c=xa+b，d=2a+(2x−3)A．2 B．−12 C．2或−12 【答案】C【分析】利用两个向量共线的性质列方程可求得实数x的值．【详解】∵向量a，b不共线，且c=xa+b，d=2所以存在实数λ，使得xa所以x=求得实数x=2或x=−1故选：C．【变式51】2.（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量a,b不共线，m=a−3b，【答案】−6【分析】根据平面向量共线向量定理，得出m=λ【详解】因为m∥n，所以∃λ∈R，m=λn，则故答案为：−6【变式51】3.（2022下·江西宜春·高一奉新县第一中学校考阶段练习）设a与b是两个不共线向量，且向量a+λb与−b【答案】−12【分析】利用向量共线的条件，列方程求λ的值.【详解】依题意知向量a+λb与2a则有1−2ka+k+λb=0，所以1−2k=0故答案为：−【变式51】4.（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知两个非零向量a,b不共线，且ka【答案】6或−6【分析】利用平面向量共线得充要条件计算即可.【详解】因为ka+3b所以存在实数λ，使ka即k−2λa由于a,b不共线，所以即实数k的值为6或−◆类型2三点共线【例题52】（2021下·山西·高一统考阶段练习）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2eA．12 B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根据已知求出AC=3e1+λ+2e2【详解】由已知可得，AC=AB+因为A，C，D三点共线，所以AC,则∃μ∈R，使得AC即3e整理可得3−μe因为e1，e所以有3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，解得λ=故选：D.【变式52】1.（2023上·湖南·高二校联考期中）设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=e1+te2，BC=2e1【答案】−【分析】由AB=λBDλ≠0，可得e1+t【详解】由A，B，C三点共线，可得AB=λ又AB=e1则e1+te2=3λ则1=3λt=−λ，解得t=−故答案为：−1【变式52】2．（2023下·上海浦东新·高一校考期中）设a，b是两个不共线向量，AB=2a+pb，【答案】−1【分析】由AB,【详解】由题意BD=BC+CD=2所以存在实数λ，使得2a所以2=2λ，p=−λ，所以λ=1,p=−1．故答案为：−1．【变式52】3．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知平面向量e1，e2不共线，且AB=2e1+ke2，CB=3e1【答案】1【分析】先根据向量的减法法则表示出BD，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，BD=由A,B,D三点共线可知，存在λ，使得AB=λBD，即由于e1，e2是两个不共线的向量，则解得k=1.故答案为：1.【变式52】4.（2023·高一单元测试）e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2，【答案】−【分析】先表示出BD，然后根据向量的共线定理进行计算.【详解】依题意得，BC=−e1由A,B,D三点共线可知，存在λ，使得AB=λBD，即由于e1，e2是两个不共线的向量，则2=λk=−4λ故答案为：−8题型6向量的线性表示◆类型1简单的线性表示【例题61】（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则ED=A．16BA+C．−56BA【答案】A【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，如图，ED=故选：A.【变式61】1.（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）已知G是△ABC的重心，若GC=xAB+yA．1 B．−1 C．13 D．【答案】B【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.【详解】连接CG并延长交AB于D，如图，

因为G是△ABC的重心，则D是AB的中点，所以GC=−1又GC=xAB+yAC,x,y∈所以x−y=−1故选：B.【变式61】2.（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，AE=13AB，CF=

A．12AD−12AB B．1【答案】D【分析】利用向量的加减法的几何意义将DG转化为AB、AD即可.【详解】DG===1故选：D.

【变式61】3.（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a，

(1)试用a，b表示AD；(2)若点G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？(3)若点G是△ABC的重心，求GA+【答案】(1)AD(2)AG(3)0【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可；（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.【详解】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，且AB=a，所以AD=（2）因为点G是△ABC的重心，所以AG=23AD=2=1（3）因为点G是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以GB+又AG=23AD=2【变式61】4.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC=a，BA=b，A．1225a+C．45a+【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC⃑=a→，BA=b，BE=BC−916BF◆类型2三点共线在线性表示中的应用【例题62】（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）如图所示，在△ABC中，AN=14NC，P是

A．1011 B．811 C．211【答案】D【分析】利用共线定理的推论可得.【详解】因为AN=14所以AP=因为P，B，N三点共线，所以611+5m=1，解得故选：D【变式62】1.（2023下·山东德州·高一统考期中）已知A，B，C三点共线，若4OA=2λOB【答案】12【分析】根据向量共线的充要条件计算即可.【详解】因为A，B，C三点共线，故有OA而4OA=2λOB+3OC故答案为：1【变式62】2.（2023下·全国·高一随堂练习）在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点，若AE=25【答案】110【分析】由