高三高考数学复习练习2-4二次函数与幂函数

241．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A．－3B．13C．7 D．5【解析】函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，∴m＝－8，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.【答案】B2．(2017·湛江模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是()A．0<α<1B．α<1C．α>0D．α<0【解析】方法一当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α<1时满足题意．故选B.方法二当x>1时，f(x)<x恒成立，即xα－1<1＝x0恒成立．因为x>1，所以α－1<0，解得α<1.故选B.【答案】B3．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[0，4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)【解析】由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.【答案】C4．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是()A．[0，4]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))【解析】二次函数图象的对称轴为x＝eq\f(3,2)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).【答案】D5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a等于()A．－1B．1C．2D．－2【解析】∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点处取得．∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≥4－3a，,－a＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≤4－3a，,4－3a＝1，))解得a＝1.【答案】B6．(2018·大同二模)已知函数f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定义域是实数集R，则实数m的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4]C．(0，4]D．[0，4)【解析】因为函数f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定义域是实数集R，所以m≥0，当m＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R；当m>0时，则Δ＝m2－4m≤0，解得0<m≤4.综上所述，实数m的取值范围是0≤m≤4.【答案】B7．已知幂函数f(x)＝x－eq\f(1,2)，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________．【解析】∵幂函数f(x)＝x－eq\f(1,2)单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f(a＋1)<f(10－2a)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得3<a<5.【答案】(3，5)8．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．【答案】h(x)>g(x)>f(x)9．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．【解析】方法一∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1，2)恒成立，∴mx<－x2－4对x∈(1，2)恒成立，即m<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))对x∈(1，2)恒成立，令y＝x＋eq\f(4,x)，则函数y＝x＋eq\f(4,x)在x∈(1，2)上是减函数．∴4<y<5，∴－5<－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))<－4，∴m≤－5.方法二设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1，2)时，f(x)<0恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）≤0，,f（2）≤0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤－5，,m≤－4))⇒m≤－5.【答案】(－∞，－5]10．若函数f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋a，x∈[1，＋∞），,x2＋ax－a，x∈（－∞，1），))x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋a－eq\f(a2,4)，x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)－a－eq\f(a2,4).①当eq\f(a,2)>1，即a>2时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))上单调递增，不合题意；②当0≤eq\f(a,2)≤1，即0≤a≤2时，符合题意；③当eq\f(a,2)<0，即a<0时，不符合题意．综上，a的取值范围是[0，2]．【答案】[0，2]11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]．∵f(x)的对称轴为x＝1，∴当x＝1时，f(x)取最小值1；当x＝－5时，f(x)取最大值37.(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，∵f(x)在[－5，5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围为a≤－5或a≥5.12．已知幂函数f(x)＝(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f(x)的图象经过点(2，eq\r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．【解析】(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，所以函数f(x)＝(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，eq\r(2))，所以eq\r(2)＝，即2eq\s\up6(\f(1,2))＝，所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，又因为f(2－