2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）44数学归纳法（七大题型）

4．4数学归纳法目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：对数学归纳法的理解 2题型二：数学归纳法中的增项问题 3题型三：证明恒等式 4题型四：证明不等式 6题型五：归纳—猜想—证明 9题型六：用数学归纳法证明整除性问题 10题型七：用数学归纳法证明几何问题 11【重难点集训】 13【高考真题】 22【题型归纳】题型一：对数学归纳法的理解2．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当（且）时，不等式成立，即，那么当时，，所以当时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确 B．验证不正确C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确【答案】D【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D.4．（2024·高二·全国·课后作业）已知命题及其证明：（1）当时，左边，右边，所以等式成立．（2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（

）A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确【答案】B【解析】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论．由等比数列求和公式知,命题正确.故选：B．9．（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，，即从起连续项正整数之和.则为从起连续3个正整数之和，故第一步应证明.故选：B.10．（2024·高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】因为，当时，左边，故C正确.故选：C.题型二：数学归纳法中的增项问题18．（2024·高二·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（

）A．1项 B．项 C．项 D．项【答案】D【解析】因为，所以，共项，则共项，所以比共增加了项，故选：D19．（2024·高二·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据数学归纳法可知：当时，当时，相比从到，可知多增加的项为故选：D20．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据数学归纳法的推导可得，当时，当时.左边增加的代数式是.故选：A题型三：证明恒等式25．（2024·高二·全国·随堂练习）求凸n边形的对角线的条数．【解析】因为三角形没有对角线，即；四边形有2条对角线，即；五边形有5条对角线，即；猜想，下面利用数学归纳法证明：（1）当时，，命题成立；（2）假设当时命题成立，即凸k边形的对角线的条数；当时，边形时在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，则增加的对角线是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，增加的对角线条数为，所以，可知：当时，命题成立，所以猜想正确；综上所述：凸n边形的对角线的条数.22．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由．【解析】存在．将，分别代入等式，得，即，所以或.猜测对一切正整数都成立．证明：（1）当时，显然成立；（2）假设时，成立；则当时，左边右边，所以时，等式也成立．综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立．30．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：(1)；(2)．【解析】（1）证明：记，当时，则有，等式成立，假设当，等式成立，即，则，这说明当时，等式成立，故对任意的，.（2）证明：设，当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即，所以，，这说明当时，等式成立，所以，对任意的，.31．（2024·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）．【解析】设．①当时，左边，右边，等式成立；②设当时等式成立，即，则当时，．由①②可知当时等式都成立．题型四：证明不等式38．数列满足且(1)用数学归纳法证明：；(2)已知不等式对成立，证明：，其中无理数….【解析】（1）证明：将代入可得，①当时，，满足，②假设当时满足，③当时，有成立，故得证；（2）证明：由（1）知，，两边取对数可得：，，，，，将上式相加可得：，，，，得证.42．（2024·高三·全国·专题练习）若数列的通项公式为，，证明：对任意的，不等式成立.【解析】证明：由于，故.所证不等式为.（1）当时，左式，右式，左式>右式，结论成立.（2）假设当时结论成立，即，则当时，，要证时结论成立，只需证，即证.由基本不等式知成立.故成立，所以当时，结论成立.由（1）（2）可知，对任意的时，不等式成立.43．（2024·高二·全国·课后作业）证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【解析】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，当n＝k＋1时，，所以当n＝k＋1时，不等式成立．综上，原不等式对任意n∈N*都成立．题型五：归纳—猜想—证明51．（2024·高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）．(1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想成立．【解析】（1）由，得，由，得，由，得，由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）；（2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立；假设当（k为正整数）时命题成立，即，则当时，，命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）．52．（2024·高二·上海·课后作业）已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明．【解析】计算得，，，，…，猜测数列的通项公式为，用数学归纳法证明：证明：（i）当时，符合上述公式；（ii）假设当（为正整数）时，有，则当时，，符合上述公式.由（i）（ii）可知，（为正整数）.53．设，（n为正整数）．若，求，及数列的通项公式．【解析】，．可写为，，，因此猜想．下面用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立．假设时结论成立，即．则，所以当时结论成立．所以通项公式为．题型六：用数学归纳法证明整除性问题61．（2024·高二·上海闵行·期中）证明：当时，能被64整除．【解析】（1）当时，能被64整除．（2）假设当时，能被64整除，则当时，．故也能被64整除．综合（1）（2）可知当时，能被64整除．62．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）用数学归纳法证明：能被整除．【解析】当时，，又，能被整除；假设当时，能被整除，即，那么当时，能被整除；综上所述：能被整除.63．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除.【解析】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立；（2）假设当时结论成立，即能被整除．则当时，，因为能被整除，能被整除，所以，能被整除，即即时结论也成立．由（1）（2）知命题对一切都成立．题型七：用数学归纳法证明几何问题70．（2024·高二·江苏·课后作业）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.【解析】证明：（1）当时，两条直线的交点只有一个，又，当时，命题成立．（2）假设，且时，命题成立，即平面内满足题设的任何条直线交点个数，那么，当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点个数为，与其他条直线交点个数为，从而条直线共有个交点，即，这表明，当时，命题成立．由（1）、（2）可知，对命题都成立．73．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数与函数的图像关于直线对称，（1）在数列中，，当时，，在数列中，，，若点在函数的图像上，求a的值.（2）在（1）的条件下，过点作倾斜角为的直线，若在y轴上的截距为，求数列的通项公式.【解析】（1）因为函数是的反函数，则.因为点在函数的图像上，所以.（*）令，得，，，则.（2）由（1）得，（*）式可化为.①直线的方程为：.因为在y轴上截距为，所以，结合①可得.②由①式可知，当自然数时，，.两式作差得，结合②式得.③在③式中，令，结合，可解得或2，又因为当时，，所以.同理，在③式中，依次令，，可解得，.由此猜想，然后用数学归纳法证明如下：（i）当，2，3时，已证成立；（ii）假设当时命题成立，即，当时，由③式可得，把代入，解得或.由于，则，所以不符合题意，应舍去，故只有，则当时命题也成立.综上可知，数列的通项公式为.69．（2024·高二·广东珠海·期末）记直线为曲线的渐近线．若，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，再过作轴的垂线交于点依此规律下去，得到点列，，，和点列，，，，为正整数．记的横坐标为，．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．【解析】（1）由直线为曲线的渐近线，可得直线的方程为，可得，，，，，，，，，，，，，，则，，，，，；，，，，，；（2）证明：运用数学归纳法证明．，当时，原不等式的左边，右边，由，则原不等式成立；设时，，当时，，要证原不等式成立，即证，上式化为，即为，即为，两边平方可得，该不等式显然成立，所以时，原不等式也成立．所以．【重难点集训】1．（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项 C．k项 D．1项【答案】B【解析】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，故增加的项数为：.故选：B.2．（2024·高二·全国·专题练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（

）A．1348 B．675 C．1349 D．1350【答案】D【解析】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，显然，猜想：，当时，成立；假设当时，成立，则为奇数，为偶数；当时，则为奇数，为奇数，为偶数，故符合猜想，因此，，所以数列的前2024项的和为.故选：D3．（2024·高三·全国·对口高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，所以比多的项数是.故选：B.4．（2024·高二·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，左边的代数式为，当时，左边的代数式为，故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：故选：D．5．（2024·高二·全国·课堂例题）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】当时，，所以左边为.故选：C.6．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，左边，右边，不等式成立.（2）假设当（且）时，不等式成立，即，那么当时，，所以当时，不等式成立，则上述证法（

）A．过程全部正确 B．验证不正确C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确【答案】D【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.故选：D.7．（2024·高二·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立【答案】B【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即时等式成立.故选：B8．（多选题）（2024·高二·吉林延边·阶段练习）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．为数列前项和，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对A，第一个等边三角形顶点坐标代入得，故A正确；将点坐标代入，将点坐标代入得，对BC，法一：由此可猜测：．接下来用数学归纳法证明，当，显然成立，假设，成立，则时，，，即，故B错误；故在，所以，由于，解得成立，故也成立，综上可得，故C错误；法二：数列前项和为，则顶点坐标为，，故B错误；因为点在函数上，所以，，则，，两式相减得，，因为，所以，，第一个等边三角形顶点代入得，代入得，所以，故是以为首项为公差的等差数列，所以，故C错误；对D，，所以，故AD正确，BC错误，故选：AD9．（多选题）（2024·高二·安徽·期末）设数列满足，且当时，有则（

）A．， B．，C． D．【答案】ACD【解析】对于A中，当为偶数时，则为奇数，可得且，，则，即，所以，即，因为，所以，又，所以，所以A正确；对于B中，由成立，假设，则由，知，所以，即时，也成立，所以，不存在，，所以B错误；对于C中，由，，猜想，当时，成立，假设，由，则，即时，也成立，所以，故C正确；对于D中，因为当n为奇数时，，为奇数所以，故D正确；故选：ACD.10．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·期末）已知数列中，，，则下列结论正确的是（

）A．当时，数列为常数列B．当时，数列单调递减C．当时，数列单调递增D．当时，数列为摆动数列【答案】ABC【解析】对于A选项，当时，，由可得，，，，以此类推可知，对任意的，，此时，数列为常数列，A对；对于B选项，当时，则，此时，数列单调递减，B对；对于C选项，因为，，且，则，猜想，，，当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即，则当时，，因为，则，则函数在上单调递增，所以，，即成立，由数学归纳法可知，对任意的，，所以，，此时，数列单调递增，C对；对于D选项，当时，取，则且，则，，，，以此类推可知，当且时，，即，此时，数列不是摆动数列，D错.故选：ABC.11．（2024·高二·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为.【答案】【解析】当时，.故答案为：

.12．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为．【答案】【解析】当时，.故答案为：13．（2024·高二·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为．【答案】【解析】设当时，能被整除，所以时，，因此必须有代数式．故答案为：14．（2024·高二·全国·课后作业）观察下列各式：总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论.【解析】观察各式，可得一般规律，用数学归纳法证明如下：当时，左边，右边，等式成立；假设时，等式成立，即，那么当时，故时，等式也成立.综上，等式对于一切正整数n都成立.15．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除.【解析】①当时，能被整除，所以当时结论成立.②假设当时，能被整除，那么当时，，由假设可知能被整除，即能被整除，所以当时结论也成立.综上，能被整除.16．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【解析】，，，，…，猜想：．证明如下：（1）当时，，猜想成立；（2）假设当时，猜想成立，即，则当时，，所以当时，猜想也成立．综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立．17．（2024·高二·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：.【解析】等差数列中，，，当时，，，原等式成立；假设当时，原等式成立，即，，则，即当时，原等式成立，所以对一切，等式成立.【高考真题】1．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则，的最小值为．【答案】【解析】由题可知，所以，，令，则，当时，，即，下面用数学归纳法证明：当时，成立，假设时，成立，当时，，即时也成立，所以当时，，即，所以时，，时，，所以当时，有最小值，最小值为.故答案为：；.2．（2024·江苏苏州·模拟预测）数列满足，其中，，．当，时，该数列的通项公式为，若该数列满足对任意的正整数，都有：，当时，符合条件的正整数对的个数为．其中为的最大公因数．【答案】【解析】（1）当，时，有，，.设，则，，且.故具有相同的初值和递推式，故，从而；（2）根据，，，知，.一方面，若，则，故.从而；另一方面，若，下面证明：.定义数列满足，，.则用数学归纳法可证明，，直接利用公式计算可知，对，有.由于，，，故.从而如果，就有；如果，就有.定义序列如下：，且对非负整数，.则根据上面的结论，有，同时根据最大公因