2024-2025学年北京市北京汇文中学高三上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年北京市北京汇文中学高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题(★★)1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．或二、多选题(★★★)2.下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（）

A．B．C．D．三、单选题(★★)3.二项式的展开式中的常数项为（）

A．60B．C．64D．(★★★)4.若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（）

A．0B．1C．2D．3(★★)5.如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（）

A．B．C．D．四、多选题(★★★)6.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论错误的是（）

A．B．满意度计分的众数为75分C．满意度计分的75%分位数是85分D．满意度计分的平均分是76五、单选题(★★★)7.已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)8.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）

A．4hB．6hC．8hD．12h(★★)9.直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（）

A．3B．4C．5D．6(★★★★)10.数列满足，，给出下列四个结论：①不存在，使得，，成等差数列；②存在，使得，，成等比数列；③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的是（）

A．①②B．①④C．③④D．②③六、填空题(★)11.抛物线的焦点坐标为_____________.(★★)12.函数在一个周期内的部分取值如下表：

1则的最小正周期为____________；______________.(★★★)13.已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是______________.(★★★)14.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）______块．(★★★)15.设函数，（1）若，函数的最小值为____________；（2）若函数存在最小值，则实数的取值范围是___________.七、解答题(★★★)16.已知函数，且满足_____________.（在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）.①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为；②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为；③已知，，且的最小值为.(1)求函数的对称中心坐标；(2)求函数在上的单调递减区间.(★★★)17.如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，，分别为棱，的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与直线所成角的正弦值.(★★★)18.为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

康复时间只服用药物A只服用药物B7天内康复360人160人8至14天康复228人200人14天内未康复12人40人假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）(★★★★)19.已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求的极值；(3)若恒成立，求的取值范围．(★★★)20.已知椭圆的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，