浙江省浙江强基联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省浙江强基联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线的斜率为，设倾斜角为，所以，故.故选：D.2.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，故选：A.3.若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】若，则由得（舍去）；若，则由得.故选：B.4.已知数列满足，，，若数列是递增数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由数列是递增数列，得，化简可得，即对于恒成立，所以，故选：C.5.如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将表面展开图还原为正方体，直线与在正方体中的位置如图所示，连接，为正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直线与所成角的大小为.故选：D.6.直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5，直线恒过定点，，点在圆内，所以直线与圆相交，故选：C.7.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等腰直角三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，准线方程与双曲线联立可得，解得.因为为等腰直角三角形，所以，即，解得，故选：B.8.已知抛物线：，抛物线：，，的焦点分别为，，点为抛物线上的一个动点，直线过点，则（）A.直线的方程为 B.C. D.与各有一个交点的直线有三条【答案】D【解析】对于A，，，所以直线的方程为，A错误；对于B，当在原点时，取到最小值为1，B错误；对于C，设，所以，当时，，此时，，C错误；对于D，当直线与只有一个交点时，①若与轴平行或重合时，满足与，各有一个交点，如图；②若与相切时，与，各有一个交点的直线有两条，一条与相切，一条与轴重合，如图和，与，各有一个交点的直线有三条，D正确.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，直线：，则（）A.直线可以与轴平行 B.直线可以与轴平行C.当时， D.当时，【答案】ABD【解析】当时，直线：，此时直线与轴平行，A项正确；当时，直线：，此时直线与轴平行，B项正确；若，则，解得，此时直线与重合，C项错误；若，则，解得，D正确.故选:ABD.10.已知曲线:（为参数）,曲线:（为参数），，以下正确的是（）A.曲线是一个圆B.曲线是一条直线C.若，则曲线与存在公共点D.若，则曲线上的点到曲线距离的最大值为【答案】BCD【解析】A，曲线可化为：，故A错误；B，曲线可化为：，故B正确.C，当，：过曲线的上顶点，故C正确.D，若，：，设曲线上的点，则点到曲线的距离为，故D正确.故选：BCD.11.已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（）A.若是的中点，则平面B.若是的中点，则平面C.最大值是D.的最小值为【答案】ACD【解析】是的中点，，，，∴是的中点.连接交于点如图所示.，∴四边形是平行四边形，.又平面，平面，平面，故A正确；以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点，那么，，，，而平面的一个法向量.，不是平面的法向量，故B错误；当与重合时，最大，为，故C正确；设，，则，，，，，，设，，，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，，且，则______.【答案】【解析】,，得，则.故答案为：13.已知点，，,点满足,则的最小值为______.【答案】209【解析】设，由，得，化简得，的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆.，，当时，的最小值是209.故答案为：209.14.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是______.【答案】【解析】设点关于直线的对称点为，则，，，，即，又，椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知直线过点.（1）若直线又过点，求直线的方程；（2）若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值.解：（1）因为过点，，所以斜率为，所以：，即；（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设：，代入得，得，当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最小值是8.16.在四棱锥中，底面四边形是正方形，，平面平面.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的大小.解：（1）连接交于点，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四边形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，（2）取中点，连接，不妨设.是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中点，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，点到平面的距离为.，平面，平面，平面，点到平面的距离.设直线与平面所成角为，于是，又，直线与平面所成角的大小为.17.已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点,点在曲线上,直线与轴交于点,满足，求直线的方程.解：（1）设，则，整理得：.（2）由题意可知直线斜率存在，设，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直线：.18.如图,在四棱锥中,平面,，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.（1）证明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围.解：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，，又，，平面，平面，.（2）由（1）可知，又，，平面，平面，，由（1）可知，在中，，.与相似，则，在中，，，，..（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系.，，不妨设，，，，即，由知，于是，，，，设，则，，由可得，，.，，设平面的一个法向量为，于是令，得，，平面的一个法向量为，，结合，化简得，设，，要存在，使与平面所成角为，在0,1上有零点.结合知函数图象的对称轴，故，又，只需满足，解得.的取值范围是.19.在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，：.（1）若点2,0，为“-异域点”，求实数的取值范围.（2）已知过0,1的直线与抛物线交于Ax1,y（Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0大小关系并说明理由；（Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率.解：（1）：，要使点2,0，为“-异域点”，则2,0应在的下方，应在的上方，所以，解得；（2）（Ⅰ）若，在的下方，则，所以，即，若，在的上方，