浙江省数海漫游2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省数海漫游2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.（）A.0 B.1 C.2024 D.2025【答案】A【解析】令，则，所以.故选：A.2.已知，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因为，且，所以故选：C.3.已知长方体中，，则四面体的体积是（）A. B.16 C. D.32【答案】A【解析】如图所示：可知四面体即为长方体中去掉4个全等的三棱锥，所以四面体的体积为.故选：A.4.设，是单位向量，则的最小值是（）A. B.0 C. D.1【答案】D【解析】设，的夹角为，因为，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是1.故选：D5.天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为.故选：C.6.若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由1，，成等差数列，可得，，当时，，解得，当时，由，可得，上面两式相减可得，化为，由，即有，是3为首项，2为公差的等差数列，可得，对A，，，与数列不互为交错数列，故A选项错误；对B，由，可得，与数列不互为交错数列，故B选项错误；对C，由，，与数列不互为交错数列，故C选项错误；对D，由可得，与数列互为交错数列，故D正确．故选：D．7.已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】设，则，，，由，可得，则，有，所以，当且仅当，即时取等号．则椭圆长轴长的最小值是.故选：B．8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，整理可得，则，如图所示：且当，可知：与有3个交点，依次为，可知的解集为，即，此时，可得，则，即，整理可得，注意到，可知与有3个交点，依次为，则不等式的解集为，即；对比选项可知：一定成立的只有选项D.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线斜率为2，有，则.依题意有或，当时，，即，解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；当时，，即，解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合.故选：BC10.已知模长均为1的复数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】设，，因为，所以，，因为复数，的模长均为1，所以，，所以，即且，所以，故选项正确；所以，故选项正确；因为，所以，故选项错误；又，故选项正确.故选：.11.如图，小黄家的墙上固定了一盏圆锥（截面为等腰直角三角形）形状的灯，灯光可以照亮的部分是个无限大的圆台，其截面的边界分别垂直于PA，PB．已知墙与地板垂直，灯向上或向下转动的极限均为45°（即AB可以绕O点顺时针或逆时针旋转45°）．若地板和墙都充分大，则灯光照在地板上的边界的可能形状有（）A.椭圆 B.双曲线的一支C.抛物线 D.一条直线【答案】BC【解析】根据题意，灯光可以照亮部分是个无限大的圆台，该问题可以转化为用平面截圆台，所得的截面问题，若固定灯不动，则只考虑地板从旋转到，设，则根据圆锥曲线定义，有：截面与圆台的轴平行时，截得双曲线的一支；截面与圆台的母线平行时，截得抛物线；截面不可能只与圆台侧面相交，不能截得椭圆；截面不可能与圆台侧面相切，不能截得直线.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列为等差数列，，，构成等比数列，则的值是______．（任写出一个即可）【答案】1或（任写一个即正确）【解析】设等差数列公差为，由，，构成等比数列，则有，即，解得或，时，；时，.故答案为：1或（任写一个即正确）13.已知a，b，，二次函数有零点，则的最小值是______．【答案】【解析】因为a，b，，设，则，二次函数fx则，可得，设，显然，可知在内单调递增，则，当且仅当，即，时，等号成立，即，所以的最小值是.故答案为：.14.若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2，则它们表面积之比的取值范围是______．【答案】【解析】设两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，由题意可知：，可得，则它们表面积之比为，令，则，表面积之比为，设，可知关于x的方程有正根，即关于t的方程在有根，设，若，即时，，不合题意；若，即时，则，因为，且，则，可得，解得；综上所述：x的取值范围为.所以表面积之比的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，．（1）证明：当取最小值时，；（2）设，求的取值范围．（1）证明：如图：取中点，中点，连接，则，.因为，，所以三点共线.又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值.又，所以.（2）解：易知，.所以，，，故（）.根据二次函数的性质，当时，有最小值，为；当或时，有最大值，为.故的取值范围为：16.设，函数．（1）若，讨论的单调性；（2）求的最大值．解：（1）令，且，解得，可知的定义域为，且，因为，且，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减.（2）由（1）可知：的定义域为，且，若，可知在内单调递增，在内单调递减，所以最大值为；若，令，解得或；令，解得或；可知在内单调递增，在内单调递减，且，所以的最大值为；综上所述：若，的最大值为；若，的最大值为.17.随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立（1）为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票；（2）由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由．解：（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障，所以主办方至少要为该通道预留100张票.（2）若小林额外找个人帮他一起抢票，则抢到票的概率为，可得，令，解得；令，解得；令，解得；即，所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票.18.已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．（1）若点P是直线与圆的交点，求a；（2）求的取值范围．解：（1）联立方程：，解得或，即点为或，将点代入双曲线C：可得，解得，所以.（2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为.因为点在双曲线上，则，显然直线过点，即，，联立方程，消去y可得，即，则，解得，所以在双曲线上一点处的切线方程为.设，，则，可得线段OP的垂直平分线为，即，设直线与双曲线C切于点x1,y1则，即，且，即，整理可得，又因为在双曲线C上，则，即，可得，解得（舍负），则，令，则，可得，令，则关于x的方程有正根，即关于t的方程在内有根，设，若，即，则，不合题意；若，即，则，解得，不合题意；若，即，则，解得；综上所述：，则，即.19.设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．（1）已知存在正整数，满足，，2，…，，，①求（用含的表达式表示）；②证明：数列的信息熵小于2；（2）请写出，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．（1）①解：由，两