浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的首项，且满足，则（）A. B. C.16 D.19【答案】B【解析】由，得到，又，所以数列是以，的等差数列，得到，故选：B.2.曲线在点处的切线的斜率（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】令，则，有，故曲线在点处的切线的斜率.故选：C.3.如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，又，故选：B4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里 C.48

里 D.24

里【答案】B【解析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B．5.原点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得：，显然当时，有最大值，此时，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选：D.6.倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点A位于第一象限，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得焦点F1,0，，设Ax，，，由题可知直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx-1联立直线与抛物线方程：，化简整理可得，由韦达定理可得，故，解得，且点A位于第一象限，，∴的值为．故选：A．7.若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线渐近线为，且与圆有公共点，圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．故选：B．8.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，,

解得．

所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因为，则，且曲线在点处的切线为，所以，直线的斜率的取值范围是.故选：ABC.10.已知椭圆的两个焦点为、，、为椭圆的左、右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（）A.周长为B.的最大值为C.椭圆的离心率为D.直线与的斜率的乘积为【答案】AB【解析】对于椭圆，，，，对于A选项，的周长为，A对；对于B选项，易知点、，设点Px,y，则，其中，则，当且仅当时，等号成立，故PF1的最大值为，B对；对于C选项，椭圆的离心率为，C错；对于D选项，易知点、，则，D错.故选：AB.11.已知数列满足，，则数列（）A.有可能是常数数列B.有可能是等差数列C.有可能是等比数列D.有可能既不是等差数列，也不是等比数列【答案】BCD【解析】由可得，即，若对任意的，有且，此时数列是公比为的等比数列，若对任意的，有且，此时数列是公差为的等差数列，取数列各项为：、、、、、、，则数列满足条件，此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列，BCD对，若数列为常数列，不妨设（为常数）对任意的恒成立，由可得，可得，与矛盾，故数列不可能常数列，A错.故选：BCD.12.已知正三棱柱的各棱长均等于，是的中点，则下列结论正确的是（）A.B.平面与平面的夹角是C.平面平面D.与平面所成的角的正弦值为【答案】ACD【解析】取线段的中点，连接，在正三棱柱，平面，因为是边长为的等边三角形，则，以点为坐标原点，、、方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，对于A选项，，，所以，，故，A对；对于B选项，设平面的法向量为m=x，，则，取，则，，可得，易知平面的一个法向量为，所以，，所以，平面与平面的夹角为，B错；对于C选项，设平面的法向量为n=x，，则，取，则，，可得，则，所以，，故平面平面，C对；对于D选项，，则，所以，与平面所成的角的正弦值为，D对.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的导函数是___________.【答案】【解析】故答案为：14.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】，所以，故答案为：.15.设为曲线上的任意两点，则的最大值为__________.【答案】10【解析】由，即点到点与点的距离之和为，由椭圆定义可知，在以与为焦点，与为上下顶点的椭圆上，故.故答案为：.16.在空间直角坐标系中，点为平面外一点,其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.【答案】【解析】由已知可得，且平面的一个法向量为，则，则，解得，因为，故点到平面的距离为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）分别求出和的导数；（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.解：（1）由导数公式得，由复合函数求导法则得；（2）由可得曲线在点处的切线的斜率，从而切线方程为，即.由，可得曲线在处的切线斜率为，由题意可得，从而，此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，即，故符合题意18.已知经过原点的直线与圆相交于两点.（1）若，求的斜率；（2）已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.解：（1）由圆，知圆心坐标为，半径为2，因为，所以点到的距离为，因为直线经过原点，且由题意易知斜率必存在且不为0，可设其方程为，由点到直线的距离公式可得：，解得.（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设Ax1,y1,Bx得，所以，，由题意得，即，因为，所以，即，解得.当直线AB斜率不存在时，，，此时，当直线AB斜率为零时，，，显然，综上.19.记为等比数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.解：（1）当时，；当时，，即，所以等比数列的公比是4，所以，即，得，故数列是首项为1，公比为4的等比数列，从而.（2）由（1）知，，故.则，，两式相减得，，故.20.如图,四棱锥中,底面为正方形,平面,点分别为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）证法1：因为平面平面，所以.又为正方形，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，于是.证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.所以，因此.（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故是平面的一个法向量.，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故是平面的一个法向量.所以所以平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知点，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（1）因为，由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，所以，，所以动点的轨迹方程为：.（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：，此时，所以；②当直线斜率存在时，设直线方程为：，代入双曲线方程可得：，可知其有两个不等的正实数根，解得：，所以.由得，，综上所述，的最小值为1.22.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左、右顶点分别为、，且.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于、两点，且满足，求的面积最大值.解：（1）设椭圆的半焦距为，椭圆