天津市红桥区2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市红桥区2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】全集，，则，又，所以.故选：D2.设是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a，b都是实数，令，，满足，但，所以，令，，满足，但，所以，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.已知函数，则函数的图象的可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，排除BD选项，当时，，则，排除C选项.故选：A.4.设，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，，，所以.故选：C5.已知数列的通项公式为，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列，，，，其中，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是首项为4，公比为2的等比数列，故，又，故，即故选：A.6下列命题中①散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③回归分析和独立性检验没有什么区别；④回归直线一定经过样本中心点.其中正确的命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系，①正确；回归直线可以不经过散点图中的任何一个点，②错误；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的分析，③错误；回归直线一定经过样本中心点，④正确，所以正确的命题个数为2.故选：B7.分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体的外接球与内切球的表面积之比为（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】如图所示，不妨设正方体的棱长为，各个面的中心分别是，，，，，，正方体的中心为，分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体为，是由正四棱锥和组成，因为，所以外接球半径，内切球半径等于到面的距离，如图，连接，，，所以是的中位线，由正方体的棱长为，所以，，所以，同理，在三棱锥中，由等体积法知：，解得：，所以外接球与内切球的表面积之比为.故选：B8.已知圆与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】圆的圆心，半径，当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，于是，即，因此双曲线的离心率；当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，于是，即，因此双曲线的离心率则，所以双曲线的离心率为或.故选：C9.已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以函数图象如图，当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解.同理当也不满足.当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解.综上，要使方程有两个不同的解，需．故选：C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.______.【答案】【解析】.故答案为：11.已知二项式，则其展开式中的系数为____________．【答案】【解析】由题意可知，的展开式的通项公式为，令，解得.所以二项式展开式中的系数为.故答案为：.12.已知，是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则______.【答案】16【解析】抛物线的准线方程为，又直线经过的焦点，且，所以.故答案为：1613.移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据:年龄段人数类型使用移动支付45402515不使用移动支付0102045从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，第2次抽到的人不使用移动支付的概率为______；在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，则这3人中恰有1人的年龄在之间的概率是______.【答案】；【解析】使用移动支付的有人，不使用移动支付的有人.①第1次抽到的人使用移动支付的条件下，第2次抽到的人不使用移动支付的概率为.②，所以抽取的人中，在之间的有人，在之外的有人，从这25人中随机选出3人，这3人中恰有1人的年龄在之间的概率是.故答案为：；14.已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，则______；在上的单调递减区间是______.【答案】2；【解析】依题意，函数，则，，解得，又，则，即，因此，当时，，由，解得，于是在上单调递减，所以，在上的单调递减区间是.故答案为：2；15.已知，，，，若存在非零实数，使得，则的最小值为______.【答案】9【解析】因为，，，则，即，且，，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中，内角的对边分别为，，，且，，.（1）求角及边的值；（2）求的值.解：（1）因为，由余弦定理得，因为，所以，因为，，所以，由正弦定理得，即，解得；（2）由（1）得，，.17.如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段的中点，（1）求证：（2）求D点到平面的距离；证明：（1）△ABC中，，，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，平面，所以．解：（2）由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，又，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，设D到平面的距离为，得．18.已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）由题意，在等差数列中，设公差为,由，得，则，又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，∴，，∴数列的通项公式为：．（2）由题意及（1）得，，在数列中，，在数列中，，∴，∴，，两式相减得．∴19.椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，设到的距离为，因为，所以，易得当时面积取得最大值，所以，因为，所以，，所以椭圆的方程为；证明：（2）如图，易知点在椭圆外，设直线的方程为，，，由得，所以，，，因为，所以，所以，所以，所以.20.设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）令（），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．解：（1）依题意，知的定义域为