上海市奉贤区2025届高三上学期学科质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市奉贤区2025届高三上学期学科质量调研数学试题一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得51分．1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】因为全集，集合，则.故答案为：.2.若直线：与直线：互相垂直，则______．【答案】0【解析】由题意得，解得.故答案为：03.已知，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为，所以不等式的解集为.故答案为：.4.设若，则______．【答案】1【解析】当时，，解得：，满足；当时，，方程无解，所以，故答案为：15.若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共______种.【答案】48【解析】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种；第二步：之间进行排列共有种；根据分步计数原理可知：排法的总数共有种.故答案为：6.的二项展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】5【解析】由题意可知：，令，所以常数项为.故答案为：7.已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为______．【答案】0,2【解析】抛物线的准线方程为，设点，则，由于点到准线的距离为，可得，因为点到轴的距离为，则，所以，，解得，故抛物线的方程为，其焦点坐标为.故答案为：.8.在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为______．【答案】.【解析】因为，，所以，，所以，所以.9.甲乙两人下棋，每局两人获胜可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分__________元奖金才公平？【答案】【解析】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：，即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，故甲的奖金为元.故答案为：.10.申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______．（用含的表达式表示）【答案】【解析】连接，则，，，，，所以该图形的面积为.故答案为：.11.上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要______千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）【答案】【解析】由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，因为，所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.故答案为：.12.已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______．【答案】60【解析】由已知,，设，则，显然，若，则，因此有，由得或，对应，同理对应，集合中已经含有点，因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，所以的个数为，若，则，，或，，或，对应点，产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个，中至少有一个，中至少有一个，的个数为，综上，集合的个数为．故答案为：60.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14选对每个得4分，15-16选对每个得5分，否则一律类分．13.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】一方面：，另一方面：，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14.函数，则下列命题正确的是（）A.函数是偶函数 B.函数定义域是C.函数最大值 D.函数的最小正周期为【答案】C【解析】设，由可得，所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以，函数不是偶函数，A错B错；当时，则，当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对；因为，结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错.故选：C.15.在四棱锥中，若，则实数组可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于选项A，若底面是平行四边形，设，则，因此，即，故A正确；对于选项B，若，则，故B错误；对于选项C，若，则，故C错误；对于选项D，若，则，但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误．故选：A．16.已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”；②若等比数列是“可控数列”，则其公比．则下列判断正确的是（）A.①与②均为真命题 B.①与②均为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①为真命题，②为假命题【答案】C【解析】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差，但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾），故对时有.这表明不是“可控数列”，故①错误；对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比.所以，从而，则，当时，则，，令，则可知当时，不成立；当时，显然成立，而对于恒成立，由于为严格增数列，且时，，故问题等价于存在，使得，记，随m的增大，减小，故，故只需，解得，故②正确.综上，①是假命题，②是真命题.故选：C.三、解答题（第17~19题每题14分，第20-21题每题18分，满分78分）17.已知函数y=fx，其中（常数且）．（1）若函数y=fx的图象过点，求关于的不等式的解集；（2）若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围.解：（1）若函数y=fx的图象过点，则解得，舍去，所以，由得，解得或，所以不等式的解集为或；（2），若存在，使得数列是等比数列，则，可得，由可得，令，，当时，，所以，可得在上单调递减，所以，则实数的取值范围.18.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．解：（1）由题意得，解得.由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：.（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和，来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和，从中任取2件，样本空间可记为，，，，，，，，，，，，，，共15个，记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，，，，，共9个，所以.19.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）求证：平面，平面平面；（2）设为上的一点，．在下面两问中选一个，①若，求直线与平面所成角的大小．②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长．（1）证明：因为底面是正方形，所以，平面，平面，所以平面；，由四棱锥是正四棱锥，可得平面，平面，所以，由，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：选①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由，得，，，由得，所以，因为平面，即平面，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，，由，得，所以直线与平面所成角为；选②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，得，，由得所以，，设为平面的一个法向量，则得，令得，所以，因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角的大小为，得，由，解得，即.20.椭圆的左右焦点分别为，设Px0,y0是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点（1）若椭圆的离心率，求的值；（2）若，求；（3）若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？解：（1）若，则，解得：.（2）若，则椭圆方程为：且，由点在第一象限可知的斜率不为，设直线的方程为：，直线与椭圆方程联立消去得：，所以，，因为，所以，而，解得：，把代入得：，把代入椭圆方程得：.（3）若，则椭圆方程为：，且，当且直线斜率存在时，设直线的方程为：，，直线与椭圆方程联立消去得：，所以，，所以，整理得：，当或时，即或时，方程无解，所以不存在满足的直线；当即时，方程只有唯一的解，所以，存在一条满足的直线；当，即时，方程有两个不相等实数解，所以存在两条满足的直线；当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足.综上所述：当或时，存在一条满足的直线；当时，存在两条满足的直线；当时，存在三条满足的直线.21.若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质．（1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）；（2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由；（3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程．（1）解：令，其中x∈R，则，所以，函数为偶函数，且，如下图所示：由图可知，函数的一条点切线方程为.（2）解：因为，该函数