陕西省安康市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省安康市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题注意事项：1考查范围：选择性必修第一册及选择性必修第二册4.1节.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.3考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，向量，若，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为，，且，则，解得.故选：C.2.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】联立方程，解得，所以交点坐标为；直线的斜率为，所以所求直线方程的斜率为，由点斜式直线方程得：所求直线方程为，即；故选：D3.双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：C.4.若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】根据题意，椭圆焦点在轴，所以，所以.故选：B5.下列命题中正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则D.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为【答案】D【解析】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；对于B，已知为空间任意一点四点共面，且任意三点不共线，若，则，B选项错误；对于C，若直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，则或，C选项错误；对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，D选项正确；故选：D.6.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值等于.故选：B7.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设抛物线上的点到其准线的距离为，点到直线的距离为，由抛物线的定义可知，则，其最小值为焦点到直线的距离，距离，即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.故选：D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又，所以，，，所以，所以椭圆的离心率为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与直线垂直，则C.当点到直线的距离取到最大时，此时D.直线与圆所截得的最短弦长为1【答案】BC【解析】对于A，由，令，即直线恒过定点，故A错误；对于B，若直线与直线垂直，则有，所以，故B正确；对于C，易知点到直线的距离，即，解之得，故C正确；对于D，，即该圆圆心为，半径为，则到的距离为，所以直线与圆所截得的弦长为，即越大，弦长越小，则弦长最小为，故D错误.故选：BC.10.已知圆与圆交于，两点，则（）A.两圆的公切线有2条B.直线方程为C.D.动点在圆上，则的最大值为【答案】ABD【解析】由题意可知，，故，故两圆相交，公切线有2条，A正确，与圆相减可得，故直线方程为，B正确，到直线的距离为，故，故C错误，可看作是圆上的一个点到点的距离的平方，故最大值为，D正确，故选：ABD11.椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（）A.过点直线与椭圆交于两点，则的周长为8B.若直线与恒有公共点，则的取值范围为C.若为上一点，，则最小值为D.若上存在点，使得，则的取值范围为【答案】CD【解析】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，故A错误；对于选项B：因为直线过定点，则，即，又因为，且，所以的取值范围为，故B错误；对于选项C：若，即椭圆，设，可得，当时，，故C正确；对于选项D：若，则，当位于短轴顶点时，最大，此时，可知，即，当时，由，解得；当时，由，解得；综上所述：的取值范围为，故D正确；故选：CD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________.【答案】【解析】由题意时，，又也满足上式，所以．故答案为：.13.设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________.【答案】【解析】如图，由可知，由对称性不妨设，由定义，因为，所以，所以，所以，解得，所以的面积为.故答案为：3.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________．【答案】9【解析】由为圆上一动点，得，由为圆上一动点，得，又.因为，所以，于是.当共线且时取得最小值，即.所以，当共线时等号成立.故答案为：9．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知点，线段是圆的一条直径.（1）求圆的标准方程；（2）点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离.解：（1）因为，线段是为圆的直径，所以圆心为线段的中点，圆心坐标为，所以圆的半径，所以圆的标准方程为：（2）圆心到直线的距离，所以圆与直线相离所以圆上任意一点Px,y到直线的距离的最大值为：16.已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.（1）求证平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；解：（1）取中点，连接，由是的中点，得，且，由是的中点，得，且，则有，四边形是平行四边形，于是，又平面平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，有，则有，设平面与平面的法向量分别为，则有，令，得，，令，得，因此.所以平面与平面的夹角余弦值为.17.已知抛物线的焦点到准线的距离为2.（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程.解：（1）由抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故，所以的方程为；（2）由（1）知，设，则，因为，所以，可得，又点在抛物线上，所以，即，化简得，则点的轨迹方程为．18.已知是双曲线的一条渐近线，点在上.（1）求的方程.（2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.（i）证明：的斜率为定值.（ii）若的面积为，求的方程.解：（1）由题可得，所以的方程为.（2）（i）设，由得，由题意得，设中点的坐标为，则所以.因为的中点在直线上，所以，即，因为，所以，故的斜率为定值.（ii）由（i）得的方程为，且，又点到的距离，所以，解得，所以的方程为.19.极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点Px0,y0（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）.（1）求极线的方程；（2）求证：；（3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.解：（1）由椭圆的长轴长为，则，解得，又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，所以，解得所以椭圆的方程为.