近四年数学高考题分析

夯实基础构建网络

优化策略提升能力

1

2016.7.6.葛洲坝中学数学高考的三个维度

1.知识与技能

2.思想与方法

3.能力与意识

数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。数学高考的两个关注点

●立足基础能力立意

●多考想的少考算的

数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心.数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.

一.认真梳理夯实基础

把握层次

注重实质

例1

已知命题p：

xR

，2x>3x

；命题

q：

xR，x3=1-x2

，则下列命题中为真命题的是：

A.p

q

B.

p

q

C.p

q D.

p

q

x=02x=3x=1p：

xR

，2x>3x

为假；

如图，函数y=x3与y=1-x2

的图象有交点，即方程

x3=1-x2有解

q：

xR，x3=1-x2为真

p

q

为真命题

a=-2

f(x)=-2x3-3x2+1=-(x+1)(2x2+x-1)

x=-1是零点，不合题意.

例2若x,y满足约束条件

则

的最大值为

.

设变量x，y满足约束条件

，则

3x+2y的最大值为

.（湖北2015文）

例3右边程序框图的算法

思路来源于我国古代数学名著

《九章算术》中的“更相减损术”，

执行该程序框图，若输入的a,b

分别为14,18,则输出的a=

A.0B.2C.4D.14

设a是一个各位数字都不是0且没

有重复数字的三位数.将组成a的3个

数字按从小到大排成的三位数记为

I(a)

，按从大到小排成的三位数记

为D(a)(例如a=815，则I(a)=158，

D(a)=815).阅读如图所示的程序

框图,运行相应的程序,任意输入一个a,

输出的结果b=

.（湖北2014理）

例4一个四面体的顶点在空间直角坐标系

O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，

(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以

zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

在如图所示的空间直角坐标系

O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).

给出编号①、②、③、④四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

A.①和②B.③和①

C.④和③D.④和②（湖北2014理文）

例5函数f(x)=ax3-3x2+1，若

f(x)=0存在唯一的零点x0

，且x0>0，则a

的取值范围为

A.（2，+∞）

B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

f(x)=ax3-3x2+1

ax3=3x2-1，

f(x)=0存在

唯一的零点x0,且x0>0

a<0.

a=-2

f(x)=-2x3-3x2+1=-(x+1)(2x2+x-1)

x=-1是零点，不合题意.

函数

的零点个数为

．

（湖北2015理）

例6

若

则S1

，S2，S3的大小关系为

A.S1<S2<S3

B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1

例7（理）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

A.0.648B.0.432 C.0.36D.0.312(文)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5

中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为

在区间[0,1]上随机取两个数x,y

，记p1为事件

“”的概率，

p2为事件“”的概率，

p3为事件“”的概率，则

（湖北2013理文）

随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2

，点数之和为偶数的概率记为p3，则

（湖北2014文）

例8某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且

到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超

过10分钟的概率是

由不等式

确定的平面区域记为

1，

不等式

确定的平面区域记为

2，在

1中

随机取一点，则该点恰好在

2内的概率（湖北2014理文）

例9已知x和y之间的几组数据如下表：

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为

某同学根据表中的前两组数据(1，0)和(2，2)，求得

的直线方程为

则以下结论正确的是

x123456y021334

根据如下样本数据

得到的回归方程为

，则

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0（湖北2014理）

x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

例10有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙

看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字

不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，

则甲的卡片上的数字是

.

将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A,B,C.

由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，可知丙持

有的是A或B，必有数字1；又由乙看了丙的卡片后

说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，可知乙持

有的必是C；再由甲看了乙的卡片后说：“我与乙的

卡片上相同的数字不是2”，可知甲持有的卡片是B，

因此丙持有的一定是A.

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为

.

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；丙说：我们三人去过同一个城市.可知：甲去过A和C两个城市；乙说：我没去过C城市，可知乙去过A.

二.突出重点适度综合

揭示联系构建网络

对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。

1.函数、导数

与方程、不等式

例11已知曲线y=x+lnx

在点(1,1)处的

切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=

．

例12

设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

f

΄(x)g(x)+f(x)g΄(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是

A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当

x≥0时，

若

则实数a的取值范围为

（湖北2014理）

2.

数列与

函数、不等式

例13等差数列{an}的前n项和为Sn

，已知S10=0，S15=25，则nSn

的最小值为______.

例14设等比数列{an}满足

，则

的最大值为

.

设.若p：

成等比数列；

q：,则

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

（湖北2015理）

3.

平面三角

与平面向量

例15若将函数y=2sin2x的图象向左平移

个单位长度，则平移后图象的对称轴为

将函数y=2sin2x的图象向左平移

个单位长

度后，所得图象对应的函数是

例16在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量

绕点O逆时针方向旋转

后得向量

，则点Q的坐标是

函数

的零点

个数为

.(湖北2015文）

4.空间图形

与平面图形

例17

在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是

．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

例18已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°,C为该球面上的动点，若三

棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的

表面积为

A．36πB.64πC.144πD.256π

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式

，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率

近似取为3.那么近似公式

相当于将圆锥体积公式中的

近似取为

（湖北2014理文）

5.

解析几何

与函数、向量

例19已知M(x0,y0)

是双曲线

上一点，

F1,F2是C的两个焦点，若

则y0的取值范围是

例20如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角

x的始边为射线OA

，终边为

射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，

将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,

]上的图象大致为

将离心率为

e1的双曲线

的实半轴长a

和虚半轴长b

同时增加

m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2

的双曲线

，则

(湖北2015理文）

A．对任意的a,b

，e1>e2

B．当

a>b时，e1>e2

；当a<b

时，e1<e2

C．对任意的a,b

，e1<e2

D．当a>b

时，e1<e2

；当

a<b时，e1>e2

6.概率与统计

例21对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检

测,右图为检测结果的频率分布

直方图.根据标准,产品长度在区

间[20,25)上的为一等品,在区间

[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为

A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45

抽得一等品概率为0.3，

抽得三等品概率为0.25，

故抽得二等品概率为0.45.

例22根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图.以下结论不正确的是

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

T≥57000120≤X≤150,X[120,150]的频率为0.7，故

利润T不少于57000元的概率估计为0.7.

设

这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是

（湖北2015理）

三.领悟数学思想

优化思维策略

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。

高考考试大纲

在中学教学和高考考查中，取得共识的数学思想有：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想.

高考考试大纲的说明

1.函数与方程的思想

例23

向高为H的水瓶中注

水，注满为止，如果注水量

V与水深h的函数关系的图象

如图所示，那么水瓶的形状是

函数图象的特征是

“先陡后平”，表明注水

过程是“先快后慢”，因

此，水瓶的形状应是

“下底大，而上口小”，

正确选项是B.

由函数图象可以看出：

当时，注水量已超

过总注水量的一半，只有

B选项中的水瓶符合题意.

例24若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)

的图象关于直线x=－2对称，则f(x)的最大

值是

.

f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)=0(-1,0),(1,0)在f(x)的图象上，又f(x)的图象关于直线x=-2对称

点(-5,0)，(-3,0)也在f(x)的图象上

f(x)=(1－x2)(x2＋8x＋15)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)=

-(x2+4x-5)(x2+4x+3).令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4，则

y=

-(t+3)(t-5)=-t2+2t+15=-(t-1)2+16，当t=1时，ymax=16.2.数形结合的思想

例25函数

的部分图象如图所示，则

f(x)的

单调递减区间为

例26设D为△ABC所在平面内一点

，则

例27一个圆经过椭圆

的三个顶点，圆心在x轴正半轴上，该圆

的标准方程为

.

如图，A(4,0),B(0,2)是

椭圆

两个顶点，

中点为M(2,1)

，

AB的垂直平分线为y-1=2(x-2)

,令y=0

,得

，

故圆

3.分类与整合的思想

例28已知函数

若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是

A.（－∞，0]B.（－∞，1]

C.[－2，1]D.[－2，0]

例29设函数

(Ⅰ)证明：f(x)≥2；

(Ⅱ)若f(3)<5，求a的取值范围.

4.转化与化归的思想

例30

在坐标平面内，与点A(1，2)距

离为1，与点B(3，1)距离为2的直线有

A.1条B.2条C.3条D.4条

例31

已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R,恒有|a－te|≥|a－e|，则

A.a⊥e

B.a⊥(a－e)

C.e⊥(a－e)D.(a＋e)⊥(a－e)

|a－te|=|AT|，|a－e|=|AE|，恒有|a－te|≥|a－e|的

几何意义是|AE|是连接直线l外一点A与直线l上各

点的距离的最小值，故

AE

l，即e⊥(a－e).

5.特殊与一般的思想

例32观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,

a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=

A.28B.76C.123D.199

设c1=a+b，c2=a2+b2，c3=a3+b3，c4=a4+b4,c5=a5+b5,…，c10=a10+b10.

则由c1=1，c2=3，c3=4=1+3，c4=7=4+3,c5=11=7+4,

以此类推：

c6=11+7=18，c7=18+11=29,c8=29+18=47,

c9=47+29=76,c10=76+47=123.

例33在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

A.2B.4C.5D.10

例34设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有

A.[－x]＝－[x] B.[2x]＝2[x]

C.[x＋y]≤[x]＋[y] D.[x－y]≤[x]－[y]

四.提升数学能力

探索思维规律

试题包括立意、情境和设问三个方面.以能力立意命题，就是首先确定在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计适当的设问方式.以能力立意命题，不仅是命题方式的变化，更是命题理念和原则的变化.1.空间想象能力

对空间形式的观察、分析、抽象和处理的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象.数学高考对空间想象能力提出了三个方面的要求：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换，会运用图形形象地揭示问题本质.

例35一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1︰h2︰h3=

设棱长为a，则正四

棱锥高，

正三棱锥的高及三棱

柱的高

故h1︰h2︰h3=

例36如图，等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B,D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥的体积．

(Ⅰ)求V(x)的表达式；

(Ⅱ)当x为何值时,V(x)取得最大值？

(Ⅲ)当V(x)取得最大值时，求异面

直线AC与PF所成角的余弦值．

（1）由折起过程知，PE⊥平面ABC，故PE是四棱锥的高.由EF//BC,得

2.

抽象概括能力

从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或做出新的判断.

例37传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10,…

记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：b2012是数列{an}中的第____项；b2k-1=______.（用k表示）

例38

定义：曲线C上的点到直线l的距

离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲

线C2：x2+(y+4)2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=_______.

3.推理论证能力推理是数学思维的基本形式，贯穿于数学学习与解题过程的始终.论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程.推理既包括合情推理和演绎推理.一般说来，运用合情推理探索和发现结论，再运用演绎推理进行证明.

例39

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数,第1次全行的数都为1的

是第1行，第2次全行的

数都为1的是第3行,…，

第n次全行的数都为1的

是第

行；第61行中1的个数是

．

◎

11

101

1111

10001

110011

1010101

11111111第61行

110011…11

第62行

1010101…01

第63行

11111111…11

例40设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0，

f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(2)方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.f(x)=3ax2+2bx+cf(0)>0⇒c>0①f(1)>0⇒3a+2b+c>0②a+b+c=0⇒b=-a-c代入②,得a>c>0;a+b+c=0⇒a+b=-c代入①,得a+b<0;

代入②,得2a+b>0;-2＜＜-1⇐-2a<b<-a⇐2a+b>0,

a+b<0.

例41

等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1+,S3=9+3．

(Ⅰ)求数列{an}的通项与前n项和Sn

；

(Ⅱ)设N*),求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．（1）由已知

解得d=2，故

（2）由（1）得．假设{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq2=bpbr

．即

与p，q，r互不相等矛盾，故{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列．4.运算求解能力

会根据法则、公式进行正确的运算和变形；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.

运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序